Igła Buffona za darmo | Szacowanie π przez upuszczanie igieł

Jak to działa

Otwórz tę stronę i naciśnij odtwarzanie. Igły spadają losowo na linie.
Patrz, jak π się stabilizuje. Gdy igła ma połowę odstępu, to rzuty podzielone przez przecięcia.
Otwórz wykres sinusa, połóż jedną igłę ręcznie albo upuść tysiąc naraz, a potem zapisz PNG.

Dwie liczby decydują o przecięciu

Rzut wyznaczają odległość x od środka igły do najbliższej linii oraz kąt θ między igłą a liniami. x przyjmuje wartości od 0 do d/2. θ od 0 do π, bo igła nie ma główki, a pół obrotu obejmuje wszystkie kierunki. Igła przecina linię, gdy x ≤ (l/2) sin θ.

Wzór dla krótkiej igły

Dla l ≤ d prawdopodobieństwo przecięcia wynosi P = 2l/(πd). Pary (θ, x) wypełniają prostokąt o szerokości π i wysokości d/2. Przecięcia to pole pod sinusoidą, a to pole wynosi l. Po podzieleniu obu pól w mianowniku zostaje π. Przy l = d/2 prawdopodobieństwo wynosi 1/π, więc π to mniej więcej rzuty podzielone przez przecięcia.

Powolny sposób na π

Po przekształceniu wzór ma postać π ≈ 2l·N / (d·N_hit). To oszacowanie metodą Monte Carlo, i to mało wydajne. Kilka tysięcy rzutów zwykle wystarcza, by rozpoznać pierwsze cyfry. Kolejna cyfra wymaga znacznie większej liczby. ± obok odczytu to jeden błąd standardowy ilorazu. Przeciągnij po podłodze, aby położyć pojedynczą igłę i zobaczyć jej x i θ. Ta igła jest rysowana, ale nie jest liczona.

Często zadawane pytania

Czym jest igła Buffona?

Igła o długości l upuszczana na równoległe linie w odstępach d. Dla krótkiej igły, l ≤ d, prawdopodobieństwo przecięcia linii wynosi 2l/(πd).

Dlaczego w wyniku pojawia się π?

Kierunek igły to kąt od 0 do π. Wszystkie możliwe upadki wypełniają prostokąt o takiej szerokości, a przecięcia to pole pod sinusoidą. Po podzieleniu tych pól w mianowniku zostaje π.

Jak eksperyment szacuje π?

Policz rzuty N i przecięcia N_hit. Wtedy π ≈ 2l·N / (d·N_hit). Gdy igła ma połowę odstępu, to rzuty podzielone przez przecięcia.

Dlaczego igła położona ręcznie nie jest liczona?

Oszacowanie wymaga losowego położenia i losowego kąta. Igła, którą ustawiasz przeciągając, jest rysowana, abyś zobaczył x i θ, ale nie jest dodawana do N ani N_hit.