Paradoks Monty’ego Halla

Zagadka

Jesteś w teleturnieju i możesz wybrać jedne z trojga drzwi. Za jednymi stoi samochód, za pozostałymi kozy. Wybierasz drzwi, powiedzmy nr 1. Prowadzący, który wie, co jest za drzwiami, otwiera inne, powiedzmy nr 3, za którymi jest koza. Potem pyta: czy chcesz zmienić na drzwi nr 2? Czy zmiana się opłaca?

Zasady mają znaczenie: prowadzący zawsze otwiera jakieś drzwi, nigdy twoje i nigdy te z samochodem, i zawsze proponuje zmianę.

Wszystkie przypadki w tabeli

Załóżmy, że zawsze wybierasz drzwi nr 1. Samochód stoi za drzwiami nr 1, 2 lub 3, za każdymi z prawdopodobieństwem 1/3.

Samochód za 1: Monty otwiera 2 lub 3. Pozostanie wygrywa, zmiana przegrywa. Samochód za 2: Monty musi otworzyć 3. Pozostanie przegrywa, zmiana wygrywa. Samochód za 3: Monty musi otworzyć 2. Pozostanie przegrywa, zmiana wygrywa.

Pozostanie wygrywa w jednym z trzech jednakowo prawdopodobnych przypadków, zmiana w dwóch. Gdy Monty otwiera drzwi, dla drzwi nr 1 nic się nie zmienia, więc zachowują swoje 1/3, a pozostałe 2/3 przechodzą na jedyne drzwi, które zostawia zamknięte.

Twierdzenie Bayesa

Powiedzmy, że wybór padł na drzwi nr 1, a Monty otworzył drzwi nr 3. Zanim je otworzy, każde drzwi kryją samochód z prawdopodobieństwem 1/3. Jeśli samochód jest za drzwiami nr 1, Monty otwiera drzwi nr 3 z prawdopodobieństwem 1/2, bo może wybierać między 2 a 3. Jeśli jest za drzwiami nr 2, na pewno otwiera drzwi nr 3. Jeśli jest za drzwiami nr 3, nigdy ich nie otwiera. Twierdzenie Bayesa waży szanse początkowe tymi wiarygodnościami:

P(samochód 1 | otwiera 3) = (1/3 · 1/2) / (1/3 · 1/2 + 1/3 · 1 + 1/3 · 0) = 1/3 P(samochód 2 | otwiera 3) = (1/3 · 1) / (1/2) = 2/3

Drzwi, które prowadzący zostawia zamknięte, kryją samochód dwa razy częściej niż twoje.

Więcej drzwi

Przy n drzwiach wybierasz jedne, a prowadzący otwiera n − 2 drzwi z kozami, zostawiając zamknięte jedne inne. Pozostanie wygrywa z prawdopodobieństwem 1/n, a zmiana z prawdopodobieństwem (n − 1)/n. Przy 100 drzwiach trzymanie się pierwszego wyboru oznacza stawianie na szansę 1% przeciw prowadzącemu, który starannie ominął jedne konkretne drzwi spośród 99. Aplikacja obsługuje do 100 drzwi.

Gdy prowadzący nie wie

Jeśli prowadzący otwiera pozostałe drzwi losowo, rozumowanie się zmienia. Przy trojgu drzwiach w jednej trzeciej przypadków odsłania samochód i te gry się nie liczą. W pozostałych grach pozostanie i zmiana wygrywają w połowie przypadków: koza za losowo otwartymi drzwiami jest przesłanką, która zwiększa prawdopodobieństwo, że to twoje drzwi kryją samochód, dokładnie na tyle, by wyszło 50/50. Odpowiedź zależy nie tylko od tego, co widzisz, ale i od tego, w jaki sposób zostało to pokazane.

Spór z 1990 roku

Steve Selvin przedstawił zagadkę w 1975 roku w liście do The American Statistician i nazwał ją imieniem Monty’ego Halla, prowadzącego Let's Make a Deal. Zasłynęła we wrześniu 1990 roku, gdy czytelnik zadał ją Marilyn vos Savant w jej rubryce w magazynie Parade, a ona odpowiedziała: zmieniać. Napisało do niej około 10 000 czytelników, w tym prawie tysiąc z doktoratem, i większość twierdziła, że się myli. Miała rację. Paul Erdős nie chciał uwierzyć w odpowiedź, dopóki kolega nie pokazał mu symulacji komputerowej, a dokładnie to robi ta aplikacja.

Poznaj to w PictorX

Otwórz paradoks Monty’ego Halla, a czeka na ciebie troje drzwi. Kliknij jedne, patrz, jak Monty otwiera drzwi z kozą, a potem naciśnij „Zostań” lub „Zmień” albo kliknij swoje drzwi lub drugie zamknięte. Statystyki poniżej liczą każdą grę, a wykres pokazuje odsetki wygranych przy pozostaniu i przy zmianie w miarę kolejnych gier, z przerywanymi liniami na wartościach z teorii. „Graj automatycznie” rozgrywa do 100 000 gier w tempie do 2000 na sekundę, w połowie gier zostając, a w połowie zmieniając, albo zawsze robiąc jedno z dwojga. Wybierz 10 lub 100 drzwi, żeby poczuć, dlaczego zmiana wygrywa, albo pozwól Monty’emu otwierać drzwi losowo i patrz, jak przewaga znika.