Paradoks dnia urodzin
Ile osób musi być w pokoju, aby dwie z nich prawdopodobnie miały urodziny tego samego dnia? Większość ludzi zgaduje, że około 180. Odpowiedź to zaledwie 23: wtedy szansa wynosi 50,7%, a przy 57 osobach już 99%. Wydaje się to błędne, bo myślimy o własnych urodzinach, a paradoks dotyczy wszystkich par w pokoju. W grupie zaledwie 23 osób prawdopodobieństwo, że dwie z nich mają urodziny tego samego dnia, wynosi 50,7%. Brzmi to zdecydowanie za wysoko, bo myślimy o własnych urodzinach: szansa, że ktoś ma urodziny tego samego dnia co ty, to tylko 6%. Ale 23 osoby tworzą 253 pary, a w każdej parze może trafić się wspólny dzień urodzin. Kliknij, aby utworzyć nową grupę, i patrz, jak przybywa par, dodawaj osoby po jednej albo przetestuj 1000 grup i wszystkie wielkości grup, aby zobaczyć, jak rośnie krzywa.
Jak to działa
- Kliknij scenę, aby utworzyć nową grupę 23 osób. Osoby dołączają po kolei, a dla każdej nowej pary pojawia się linia.
- Obserwuj kalendarz: podświetla się dzień, w którym urodziny mają dwie osoby, a komunikat podaje ten wspólny dzień urodzin.
- Naciśnij Testuj automatycznie, aby sprawdzić 1000 grup, albo Testuj wszystkie wielkości grup, aby zobaczyć, jak szansa rośnie od 2 do 100 osób.
Dlaczego intuicja zawodzi
W pokoju nieświadomie rozumujemy z własnej perspektywy: jaka jest szansa, że ktoś ma urodziny tego samego dnia co ja? Przy 365 dniach ta szansa jest mała, około 6% przy 22 innych osobach. Paradoks pyta jednak, czy jakiekolwiek dwie osoby mają urodziny tego samego dnia: A i B, B i C, A i C i tak dalej. Dwadzieścia trzy osoby tworzą 23 × 22 / 2 = 253 pary, a każda z nich to szansa na trafienie. Liczba par rośnie z kwadratem wielkości grupy, więc szansa gwałtownie rośnie.
Obliczenia
Najprościej obliczyć szansę, że nikt nie ma wspólnego dnia urodzin, i odjąć ją od 100%. Pierwsza osoba zajmuje dowolny dzień. Druga ma szansę 364/365 na inny dzień, trzecia szansę 363/365 na ominięcie dwóch pierwszych i tak dalej. Dla 23 osób: 365/365 × 364/365 × 363/365 × … × 343/365 ≈ 49,3%. Szansa na co najmniej jeden wspólny dzień urodzin wynosi więc 100% − 49,3% = 50,7%.
Ktoś z twoim dniem urodzin
Szansa, że ktoś w grupie ma urodziny tego samego dnia co ty, rośnie znacznie wolniej: 1 − (364/365)ⁿ⁻¹, bo tylko n − 1 par obejmuje ciebie. Przy 23 osobach wynosi 5,9%, a żeby przekroczyć 50%, potrzeba 253 innych osób. Przełącz pytanie na Ktoś ma urodziny tego samego dnia co ty, aby porównać obie krzywe.
Ataki urodzinowe w kryptografii
Paradoks to coś więcej niż sztuczka na przyjęcie. W bezpieczeństwie komputerowym jest podstawą ataku urodzinowego: aby znaleźć dwie różne wiadomości o tym samym skrócie, czyli kolizję, atakujący potrzebuje znacznie mniej prób, niż można by się spodziewać. Dla funkcji skrótu o N możliwych wartościach kolizja staje się prawdopodobna już po około √N próbach, a nie po N. Dlatego skróty i podpisy cyfrowe muszą być na tyle długie, żeby nawet √N prób było poza zasięgiem: dla 128-bitowej funkcji skrótu znalezienie kolizji wymaga około 2⁶⁴ prób.
Często zadawane pytania
Ile osób potrzeba, aby szansa na wspólny dzień urodzin wyniosła 50%?
23. Wtedy szansa wynosi 50,7%. Przy 30 osobach to 70,6%, przy 41 osobach 90,3%, przy 57 osobach 99,0%, a przy 70 osobach 99,9%.
Dlaczego nazywa się to paradoksem?
To nie sprzeczność, tylko zaskoczenie: odpowiedź jest sprzeczna z intuicją. Większość ludzi zgaduje, że potrzeba mniej więcej połowy z 365, czyli około 180 osób, bo porównuje wszystkich ze sobą, a nie każdego z każdym.
A co z 29 lutego i prawdziwymi datami urodzin?
Aplikacja, podobnie jak klasyczne zadanie, przyjmuje 365 jednakowo prawdopodobnych dni. Prawdziwe urodziny nie rozkładają się w ciągu roku całkiem równomiernie, a nierównomierny rozkład sprawia, że wspólny dzień urodzin jest nieco bardziej prawdopodobny, a nie mniej.
Kiedy wspólny dzień urodzin jest pewny?
Przy 366 osobach: dni jest tylko 365, więc zgodnie z zasadą szufladkową Dirichleta co najmniej dwie z 366 osób muszą mieć urodziny tego samego dnia. Na długo wcześniej jest to praktycznie pewne: przy 100 osobach szansa wynosi 99,99997%.
Czy coś jest wysyłane?
Nie. Wszystko jest obliczane i rysowane na płótnie w przeglądarce. Przycisk Zapisz pobiera PNG. Edytuj otwiera ten obraz w edytorze PictorX.
Powiązane narzędzia
Paradoks dnia urodzin
Paradoks dnia urodzin wyjaśniony: dlaczego 23 osoby dają 50,7% szansy na wspólny dzień urodzin, 253 pary, obliczenia krok po kroku, ktoś z twoim dniem urodzin, reguła pierwiastka kwadratowego i ataki urodzinowe na funkcje skrótu.
Paradoks Monty’ego Halla
Paradoks Monty’ego Halla do sprawdzenia: wybierz jedne z trojga drzwi, patrz, jak Monty otwiera inne z kozą, a potem zostań albo zmień. Graj samodzielnie albo pozwól komputerowi rozegrać 1000 gier i zobacz, że zmiana wygrywa w dwóch przypadkach na trzy.
Kulki z wazonu
Losuj kulki z wazonu bez patrzenia i bez odkładania ich z powrotem. Śledź każde losowanie na drzewie stochastycznym: 5/9 × 4/8 = 5/18 dla dwóch czerwonych kulek. Potem pozwól komputerowi rozegrać 1000 rund.
Błąd hazardzisty
Rzucaj uczciwą monetą 100 razy na sekundę i zobacz, co wypada po każdej serii 5 lub 8 orłów z rzędu. Wciąż jest 50/50: moneta nie ma pamięci.
Rzucanie kośćmi
Rzuć jedną, dwiema lub trzema kośćmi tysiąc razy i porównaj wykres słupkowy pokazujący, jak często wypadał każdy wynik, z oczekiwanymi częstościami. Zobacz, dlaczego 7 to najczęstsza suma.
Liczenie kart Hi-Lo
Naucz się liczyć karty metodą Hi-Lo przy stole do blackjacka w przeglądarce: +1, 0 lub −1 za każdą kartę, running count, true count i stawka. Ćwicz liczenie, przelicz całą talię albo rozegraj milion rund.
π metodą Monte Carlo
Rzucaj tysiące losowych rzutek w kwadrat z wpisanym kołem i patrz, jak część, która trafia do środka, zamienia się w π. Uruchamiaj, zatrzymuj i śledź, jak oszacowanie zbiega.
Chcesz wypróbować?
Otwórz PictorX w swojej przeglądarce — do uruchomienia nie jest wymagana żadna instalacja ani karta kredytowa.
Przejdź do edytora