π metodą Monte Carlo
Czy czysty przypadek może obliczyć dokładną liczbę? Narysuj koło wewnątrz kwadratu i rzucaj w nie losowo rzutkami. Koło zajmuje π/4 kwadratu, więc mniej więcej π/4 rzutek ląduje w jego wnętrzu. Pomnóż tę część przez cztery, a otrzymasz oszacowanie π. Im więcej rzutek, tym bliżej: 3, potem 3,1, potem 3,14, potem 3,141… Naciśnij Start, a rzutki trafiają losowo w kwadrat. Część, która ląduje wewnątrz koła, to π/4, więc π ≈ 4 × wewnątrz ÷ rzutki. Im więcej rzutek, tym dokładniejsze oszacowanie: sto razy więcej rzutek daje mniej więcej jedną poprawną cyfrę więcej. Kliknij kwadrat, aby rzucić rzutkę ręcznie.
Jak to działa
- Naciśnij Start. Rzutki lądują losowo w kwadracie: niebieskie wewnątrz koła, czerwone poza nim.
- Obserwuj licznik: π ≈ 4 × wewnątrz ÷ rzutki. Cyfry, które już zgadzają się z π, są pokolorowane.
- Zwiększ prędkość albo rzuć milion rzutek naraz i zobacz, jak oszacowanie stabilizuje się w zwężającym się pasie na wykresie.
Dlaczego rzutki znajdują π
Kwadrat ma boki długości 2, a koło w jego wnętrzu ma promień 1. Pole kwadratu wynosi 4, a pole koła π × 1² = π. Rzutka, która z jednakowym prawdopodobieństwem może wylądować w dowolnym miejscu kwadratu, trafia do koła z prawdopodobieństwem π/4, czyli około 78,5%. Policz rzutki, policz trafienia, a 4 × trafienia ÷ rzutki daje oszacowanie π. Ćwiartka koła działa tak samo: ćwierć koła o promieniu 1 w kwadracie o boku 1 też zajmuje π/4 jego pola.
Prawo wielkich liczb
Jedna rzutka nic nie mówi: daje 4 albo 0. Sto rzutek daje coś w rodzaju 3,0 albo 3,3. Dziesięć tysięcy rzutek zwykle daje wynik różny od π tylko o kilka setnych. Prawo wielkich liczb mówi, że udział trafień jest coraz bliższy π/4, w miarę jak rośnie liczba rzutek, więc oszacowanie zbiega do π.
Dlaczego zbiega powoli
Typowy błąd po N rzutkach wynosi około 1,64/√N. Aby zmniejszyć błąd o połowę, potrzebujesz cztery razy więcej rzutek, a jedna poprawna cyfra więcej kosztuje sto razy więcej. Zacieniony pas na wykresie obejmuje 95% wszystkich symulacji i zwęża się jak 1/√N. Milion rzutek zostawia błąd około 0,0016: trzy lub cztery poprawne miejsca po przecinku.
Metody Monte Carlo
Metoda zawdzięcza nazwę kasynu w Monako. W latach 40. XX wieku Stanisław Ulam i John von Neumann użyli losowania prób, by śledzić neutrony w materii, co było problemem zbyt zawiłym dla wzorów. Dziś symulacje Monte Carlo wyceniają opcje finansowe, obliczają światło w filmach animowanych, prognozują pogodę i testują leki. Rzucanie rzutkami w koło to najprostszy przykład tej idei: zastąp trudne obliczenie wieloma losowymi eksperymentami.
Często zadawane pytania
Jak losowe rzutki obliczają π?
Koło zajmuje π/4 kwadratu, który je otacza. Gdy rzutki lądują jednostajnie losowo, mniej więcej π/4 z nich trafia w koło, więc czterokrotność udziału trafień jest oszacowaniem π.
Ile rzutek potrzeba, żeby dostać 3,14?
Zwykle dziesiątki tysięcy. Błąd maleje jak 1,64/√N: przy 10 000 rzutek wynik typowo różni się o około 0,016, a przy 1 000 000 rzutek o około 0,0016. Każda kolejna poprawna cyfra kosztuje sto razy więcej rzutek.
Czy to to samo co igła Buffona?
Oba sposoby szacują π dzięki przypadkowi. Igła Buffona polega na upuszczaniu igieł na linie i liczeniu przecięć; metoda Monte Carlo rzuca punkty w koło. Rzutki łatwiej zrozumieć i szybciej zbiegają: przy tej samej liczbie rzutów błąd stanowi około jednej trzeciej błędu eksperymentu Buffona z połową igły.
Czy rzutki są naprawdę losowe?
Pochodzą z generatora liczb pseudolosowych twojej przeglądarki, który w zupełności wystarcza do tego eksperymentu. Każda symulacja jest inna i dlatego oszacowanie błądzi, zanim się ustabilizuje.
Czy coś jest wysyłane?
Nie. Wszystko jest obliczane i rysowane na płótnie w twojej przeglądarce. „Zapisz” pobiera plik PNG. „Edytuj” otwiera ten obraz w edytorze PictorX.
Powiązane narzędzia
Metoda Monte Carlo i π
Jak losowe rzutki szacują π: rozumowanie oparte na polach, które stoi za 4 × wewnątrz ÷ rzutki, prawo wielkich liczb, dlaczego błąd maleje jak 1/√N i skąd wzięły się metody Monte Carlo.
Igła Buffona
Upuszczaj igły na podłogę w linie w przeglądarce. Policz przecięcia i zobacz, jak eksperyment Buffona z 1777 roku szacuje π.
Rzucanie kośćmi
Rzuć jedną, dwiema lub trzema kośćmi tysiąc razy i porównaj wykres słupkowy pokazujący, jak często wypadał każdy wynik, z oczekiwanymi częstościami. Zobacz, dlaczego 7 to najczęstsza suma.
Deska Galtona
Puść kule przez rzędy kołków i patrz, jak krzywa dzwonowa wypełnia przegródki. Zmień liczbę rzędów, przechył i liczbę kul, a potem porównaj średnią i rozrzut z teorią.
Błąd hazardzisty
Rzucaj uczciwą monetą 100 razy na sekundę i zobacz, co wypada po każdej serii 5 lub 8 orłów z rzędu. Wciąż jest 50/50: moneta nie ma pamięci.
Paradoks Monty’ego Halla
Paradoks Monty’ego Halla do sprawdzenia: wybierz jedne z trojga drzwi, patrz, jak Monty otwiera inne z kozą, a potem zostań albo zmień. Graj samodzielnie albo pozwól komputerowi rozegrać 1000 gier i zobacz, że zmiana wygrywa w dwóch przypadkach na trzy.
Chcesz wypróbować?
Otwórz PictorX w swojej przeglądarce — do uruchomienia nie jest wymagana żadna instalacja ani karta kredytowa.
Przejdź do edytora