Simulateur du paradoxe des anniversaires | Pourquoi 23 personnes suffisent pour 50 %

Comment ça marche

Cliquez sur le canevas pour un nouveau groupe de 23 personnes. Elles arrivent une par une, et une ligne apparaît pour chaque nouvelle paire.
Observez le calendrier : un jour avec deux anniversaires s’allume, et le message indique l’anniversaire commun.
Appuyez sur Tester automatiquement pour 1 000 groupes, ou sur Tester toutes les tailles de groupe pour voir la probabilité monter de 2 à 100 personnes.

Pourquoi notre intuition se trompe

Dans une pièce, nous raisonnons inconsciemment à partir de nous-mêmes : quelle est la probabilité que quelqu’un ait le même anniversaire que moi ? Avec 365 jours, cette probabilité est faible, environ 6 % avec 22 autres personnes. Mais le paradoxe demande si deux personnes quelconques ont le même anniversaire : A et B, B et C, A et C, et ainsi de suite. Vingt-trois personnes forment 23 × 22 / 2 = 253 paires, et chacune d’elles est une occasion de coïncidence. Le nombre de paires croît comme le carré de la taille du groupe, si bien que la probabilité grimpe en flèche.

Le calcul

Le plus simple est de calculer la probabilité que personne ne partage son anniversaire avec un autre, puis de la soustraire de 100 %. La première personne prend n’importe quel jour. La deuxième a une probabilité de 364/365 d’avoir un autre jour, la troisième une probabilité de 363/365 d’éviter les deux premiers, et ainsi de suite. Pour 23 personnes : 365/365 × 364/365 × 363/365 × … × 343/365 ≈ 49,3 %. La probabilité d’au moins un anniversaire commun est alors de 100 % − 49,3 % = 50,7 %.

Quelqu’un qui a le même anniversaire que vous

La probabilité que quelqu’un du groupe ait le même anniversaire que vous augmente beaucoup plus lentement : 1 − (364/365)ⁿ⁻¹, car seules n − 1 paires vous incluent. Avec 23 personnes, elle est de 5,9 %, et il vous faut 253 autres personnes pour dépasser 50 %. Passez la question sur « Quelqu’un a le même anniversaire que vous » pour comparer les deux courbes.

Les attaques des anniversaires en cryptographie

Le paradoxe est bien plus qu’une curiosité de soirée. En sécurité informatique, il est à la base de l’attaque des anniversaires : pour trouver deux entrées ayant la même empreinte, c’est-à-dire une collision, un attaquant a besoin de bien moins d’essais qu’on ne le croirait. Pour une fonction de hachage à N valeurs possibles, une collision devient probable après environ √N essais au lieu de N. C’est pourquoi les fonctions de hachage et les signatures numériques exigent des empreintes assez longues pour que même √N essais soient hors de portée : pour une empreinte de 128 bits, une collision demande environ 2⁶⁴ essais.

Questions fréquemment posées

Combien faut-il de personnes pour avoir 50 % de chances d’un anniversaire commun ?

23. La probabilité est alors de 50,7 %. Avec 30 personnes, elle est de 70,6 %, avec 41 personnes de 90,3 %, avec 57 personnes de 99,0 % et avec 70 personnes de 99,9 %.

Pourquoi parle-t-on de paradoxe ?

Ce n’est pas une contradiction, seulement une surprise : la réponse va à l’encontre de l’intuition. La plupart des gens estiment qu’il faut environ la moitié de 365, soit quelque 180 personnes, parce qu’ils comparent tout le monde à eux-mêmes au lieu de comparer les personnes entre elles.

Et le 29 février, et les vraies dates de naissance ?

L’application, comme le problème classique, suppose 365 jours équiprobables. Les vrais anniversaires ne sont pas tout à fait répartis uniformément sur l’année, et une répartition inégale rend un anniversaire commun un peu plus probable, pas moins.

Quand un anniversaire commun est-il certain ?

Avec 366 personnes : il n’y a que 365 jours, donc d’après le principe des tiroirs, au moins deux personnes sur 366 doivent avoir le même anniversaire. Bien avant cela, c’est pratiquement certain : avec 100 personnes, la probabilité est de 99,99997 %.

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Le paradoxe des anniversaires

Le paradoxe des anniversaires expliqué : pourquoi 23 personnes donnent 50,7 % de chances d’un anniversaire commun, les 253 paires, le calcul étape par étape, quelqu’un qui a le même anniversaire que vous, la règle de la racine carrée et les attaques des anniversaires contre les fonctions de hachage.