Aiguille de Buffon gratuite | Estimer π en lâchant des aiguilles

Comment ça marche

Ouvrez cette page et appuyez sur lecture. Les aiguilles tombent au hasard sur les lignes.
Regardez π se stabiliser. Avec une aiguille longue de la moitié de l’écart, il vaut lancers divisés par croisements.
Ouvrez le diagramme sinus, posez une aiguille à la main ou lâchez-en mille d’un coup, puis enregistrez un PNG.

Deux nombres décident d’un croisement

Un lancer est fixé par la distance x entre le centre de l’aiguille et la ligne la plus proche, et par l’angle θ entre l’aiguille et les lignes. x va de 0 à d/2. θ va de 0 à π, car une aiguille n’a pas de tête et un demi-tour couvre toutes les directions. L’aiguille croise une ligne quand x ≤ (l/2) sin θ.

La formule de l’aiguille courte

Pour l ≤ d, la probabilité d’un croisement est P = 2l/(πd). Les couples (θ, x) remplissent un rectangle de largeur π et de hauteur d/2. Les croisements forment l’aire sous la courbe sinus, et cette aire vaut l. Le rapport des deux aires laisse π au dénominateur. Pour l = d/2, la probabilité est 1/π, donc π vaut environ lancers divisés par croisements.

Une façon lente de trouver π

La formule réarrangée s’écrit π ≈ 2l·N / (d·N_hit). C’est une estimation de Monte-Carlo, et une estimation peu efficace. Quelques milliers de lancers rendent en général les premiers chiffres reconnaissables. Le chiffre suivant demande un nombre bien plus grand. Le ± à côté de l’affichage est une erreur type du rapport. Faites glisser sur le plancher pour poser une seule aiguille et voir son x et son θ. Cette aiguille est dessinée mais exclue du comptage.

Questions fréquemment posées

Qu’est-ce que l’aiguille de Buffon ?

Une aiguille de longueur l lâchée sur des lignes parallèles espacées de d. Pour une aiguille courte, l ≤ d, la probabilité qu’elle croise une ligne vaut 2l/(πd).

Pourquoi la réponse contient-elle π ?

La direction de l’aiguille est un angle compris entre 0 et π. Toutes les chutes possibles remplissent un rectangle de cette largeur, et les croisements forment l’aire sous une courbe sinus. Le rapport de ces aires laisse π au dénominateur.

Comment l’expérience estime-t-elle π ?

Comptez les lancers N et les croisements N_hit. On a alors π ≈ 2l·N / (d·N_hit). Avec une aiguille longue de la moitié de l’écart, cela revient à lancers divisés par croisements.

Pourquoi une aiguille posée à la main n’est-elle pas comptée ?

L’estimation exige une position et un angle aléatoires. Une aiguille que vous placez en la faisant glisser est dessinée pour que vous voyiez x et θ, mais elle n’est ajoutée ni à N ni à N_hit.