Le problème de Monty Hall

L’énigme

Vous participez à un jeu télévisé et pouvez choisir l’une de trois portes. Derrière une porte se trouve une voiture ; derrière les autres, des chèvres. Vous choisissez une porte, disons la n° 1. Le présentateur, qui sait ce qu’il y a derrière les portes, en ouvre une autre, disons la n° 3, qui cache une chèvre. Puis il demande : voulez-vous changer pour la porte n° 2 ? Avez-vous intérêt à changer ?

Les règles comptent : le présentateur ouvre toujours une porte, jamais la vôtre ni celle de la voiture, et il propose toujours le changement.

Tous les cas dans un tableau

Supposons que vous choisissiez toujours la porte 1. La voiture est derrière la porte 1, 2 ou 3, chacune avec une probabilité de 1/3.

Voiture derrière 1 : Monty ouvre 2 ou 3. Garder gagne, changer perd. Voiture derrière 2 : Monty doit ouvrir 3. Garder perd, changer gagne. Voiture derrière 3 : Monty doit ouvrir 2. Garder perd, changer gagne.

Garder gagne dans un des trois cas également probables, changer dans deux. Rien ne change pour la porte 1 quand Monty ouvre une porte : elle garde son 1/3, et les 2/3 restants vont à la seule porte qu’il laisse fermée.

Le théorème de Bayes

Disons que vous avez choisi la porte 1 et que Monty a ouvert la porte 3. Avant qu’il l’ouvre, chaque porte cache la voiture avec une probabilité de 1/3. Si la voiture est derrière la porte 1, il ouvre la porte 3 avec une probabilité de 1/2, car il peut choisir entre 2 et 3. Si elle est derrière la porte 2, il ouvre la porte 3 à coup sûr. Si elle est derrière la porte 3, il ne l’ouvre jamais. Le théorème de Bayes pondère les chances initiales par ces vraisemblances :

P(voiture 1 | ouvre 3) = (1/3 · 1/2) / (1/3 · 1/2 + 1/3 · 1 + 1/3 · 0) = 1/3 P(voiture 2 | ouvre 3) = (1/3 · 1) / (1/2) = 2/3

La porte que le présentateur laisse fermée cache la voiture deux fois plus souvent que la vôtre.

Plus de portes

Avec n portes, vous en choisissez une et le présentateur ouvre n − 2 portes avec des chèvres, en laissant une autre porte fermée. Garder gagne avec une probabilité de 1/n et changer avec (n − 1)/n. Avec 100 portes, s’en tenir à votre premier choix revient à parier sur une chance de 1 % contre un présentateur qui a soigneusement évité une porte précise parmi 99. L’application va jusqu’à 100 portes.

Quand le présentateur ne sait pas

Si le présentateur ouvre les autres portes au hasard, le raisonnement change. Avec trois portes, il révèle la voiture une fois sur trois, et ces parties ne comptent pas. Dans les autres parties, garder et changer gagnent chacun une fois sur deux : voir une chèvre derrière une porte ouverte au hasard est un indice qui rend plus probable que votre propre porte cache la voiture, juste assez pour arriver à 50/50. La réponse ne dépend pas seulement de ce que vous voyez, mais aussi de la façon dont cela vous a été montré.

La controverse de 1990

Steve Selvin a posé l’énigme dans une lettre à The American Statistician en 1975 et lui a donné le nom de Monty Hall, animateur de Let's Make a Deal. Elle est devenue célèbre en septembre 1990, quand un lecteur l’a soumise à Marilyn vos Savant dans sa rubrique du magazine Parade et qu’elle a répondu : changez. Environ 10 000 lecteurs lui ont écrit, dont près d’un millier de docteurs, la plupart pour lui dire qu’elle se trompait. Elle avait raison. Paul Erdős a refusé de croire la réponse jusqu’à ce qu’un collègue lui montre une simulation informatique, exactement ce que fait cette application.

L’explorer dans PictorX

Ouvrez le problème de Monty Hall : trois portes vous attendent. Cliquez sur l’une d’elles, regardez Monty ouvrir une porte avec une chèvre, puis appuyez sur « Garder » ou « Changer », ou cliquez sur votre porte ou sur l’autre porte fermée. Les statistiques en dessous comptent chaque partie, et le graphique montre les taux de victoire en gardant et en changeant au fil des parties, avec des lignes pointillées aux valeurs théoriques. « Jouer automatiquement » lance jusqu’à 100 000 parties, jusqu’à 2 000 par seconde, en gardant une fois sur deux et en changeant une fois sur deux, ou en faisant toujours l’un des deux. Choisissez 10 ou 100 portes pour sentir pourquoi changer gagne, ou laissez Monty ouvrir des portes au hasard et regardez l’avantage disparaître.