Simulation de Monte-Carlo pour π | Estimer pi avec des fléchettes aléatoires

Comment ça marche

Appuyez sur Démarrer. Les fléchettes tombent au hasard dans le carré : en bleu dans le cercle, en rouge en dehors.
Observez le compteur : π ≈ 4 × dedans ÷ fléchettes. Les chiffres qui correspondent déjà à π sont en couleur.
Augmentez la vitesse ou lancez un million de fléchettes d’un coup, et regardez l’estimation se stabiliser dans la bande qui se resserre sur le graphique.

Pourquoi les fléchettes trouvent π

Le carré a des côtés de longueur 2 et le cercle qu’il contient a un rayon de 1. L’aire du carré vaut 4 et celle du cercle π × 1² = π. Une fléchette qui a autant de chances de tomber n’importe où dans le carré tombe dans le cercle avec une probabilité de π/4, soit environ 78,5 %. Comptez les fléchettes, comptez celles qui tombent dedans, et 4 × dedans ÷ fléchettes estime π. Le quart de cercle fonctionne de la même façon : un quart de cercle de rayon 1 dans un carré de côté 1 en couvre lui aussi π/4.

La loi des grands nombres

Une seule fléchette ne vous apprend rien : elle donne 4 ou 0. Cent fléchettes donnent quelque chose comme 3,0 ou 3,3. Dix mille fléchettes tombent en général à quelques centièmes de π. La loi des grands nombres dit que la part des fléchettes tombées dedans se rapproche toujours plus de π/4 quand le nombre de fléchettes augmente : l’estimation converge donc vers π.

Pourquoi la convergence est lente

L’erreur typique après N fléchettes vaut environ 1,64/√N. Pour diviser l’erreur par deux, il faut quatre fois plus de fléchettes, et un chiffre exact de plus en coûte cent fois plus. La bande ombrée du graphique contient 95 % de toutes les simulations et se resserre comme 1/√N. Un million de fléchettes laissent une erreur d’environ 0,0016 : trois ou quatre décimales exactes.

Les méthodes de Monte-Carlo

La méthode doit son nom au casino de Monaco. Dans les années 1940, Stanislaw Ulam et John von Neumann ont utilisé l’échantillonnage aléatoire pour suivre des neutrons à travers la matière, un problème trop embrouillé pour les formules. Aujourd’hui, les simulations de Monte-Carlo évaluent des options financières, calculent la lumière dans les films d’animation, prévoient la météo et testent des médicaments. Lancer des fléchettes sur un cercle est l’exemple le plus simple de l’idée : remplacer un calcul difficile par de nombreuses expériences aléatoires.

Questions fréquemment posées

Comment des fléchettes aléatoires calculent-elles π ?

Le cercle couvre π/4 du carré qui l’entoure. Quand les fléchettes tombent uniformément au hasard, environ π/4 d’entre elles touchent le cercle : quatre fois cette part est donc une estimation de π.

Combien de fléchettes faut-il pour obtenir 3,14 ?

En général, plusieurs dizaines de milliers. L’erreur diminue comme 1,64/√N : avec 10 000 fléchettes, on est typiquement à environ 0,016 près, et avec 1 000 000 de fléchettes, à environ 0,0016 près. Chaque chiffre exact supplémentaire coûte cent fois plus de fléchettes.

Est-ce la même chose que l’aiguille de Buffon ?

Les deux estiment π grâce au hasard. L’aiguille de Buffon lâche des aiguilles sur des lignes et compte les croisements ; la méthode de Monte-Carlo lance des points sur un cercle. Les fléchettes sont plus faciles à comprendre et convergent plus vite : pour le même nombre de lancers, l’erreur vaut environ un tiers de celle de l’expérience de Buffon avec la demi-aiguille.

Les fléchettes sont-elles vraiment aléatoires ?

Elles viennent du générateur de nombres pseudo-aléatoires de votre navigateur, largement suffisant pour cette expérience. Chaque simulation est différente : c’est pourquoi l’estimation vagabonde avant de se stabiliser.

Est-ce que quelque chose est envoyé en ligne ?

Non. Tout est calculé et dessiné sur un canevas dans votre navigateur. « Enregistrer » télécharge un PNG. « Modifier » ouvre cette image dans l’éditeur PictorX.