꽃병에서 구슬 꺼내기
색색의 구슬이 든 꽃병은 학교 수학에서 확률을 다루는 대표적인 모형입니다. 꺼내기, 고르기, 표본 뽑기에 관한 모든 질문을 셀 수 있는 그림으로 바꿔 줍니다.
항아리 모형
확률에서는 꽃병, 즉 항아리에 색이 다른 구슬이 정해진 개수만큼 들어 있다고 생각합니다. 보지 않고 하나 이상을 꺼내므로, 꽃병에 남아 있는 구슬은 모두 같은 확률로 뽑힙니다. 야코프 베르누이가 1700년 무렵 이 모형을 사용했고, 그 뒤로 줄곧 표준적인 예가 되었습니다. 복권 공 추첨, 카드 나눠 주기, 설문 조사 대상자 고르기, 제품 한 묶음에서 불량품 검사하기는 모두 꽃병에서 구슬을 꺼내는 것과 같은 방식으로 작동합니다.
비복원추출, 한 단계씩
빨간 구슬 5개와 파란 구슬 4개, 모두 9개가 든 꽃병에서 다시 넣지 않고 두 개를 꺼내 봅시다. 첫 번째 구슬이 빨간색일 확률은 5/9입니다. 빨간색이었다면 구슬이 8개 남고 그중 4개가 빨간색이므로, 두 번째가 빨간색일 확률은 4/8 = 1/2입니다. 두 구슬이 모두 빨간색일 확률은 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18 ≈ 27.8%입니다.
수형도
수형도는 꺼내는 모든 경우를 그림으로 나타냅니다. 시작점에서 가지 하나는 빨간색으로, 하나는 파란색으로 뻗고, 각 가지에는 확률 5/9와 4/9가 적힙니다. 그 각각에서 다시 새 가지 두 개가 두 번째 구슬로 뻗고, 첫 번째 구슬 다음에 적용되는 확률이 적힙니다. 빨간색 다음은 4/8과 4/8, 파란색 다음은 5/8과 3/8입니다. 각 경로의 끝은 잎입니다. 경로를 따라 확률을 곱하면 그 경로의 확률이 나옵니다: 20/72, 20/72, 20/72, 12/72. 잎을 모두 합하면 72/72 = 1입니다.
경로 더하기와 여사건
질문에 해당하는 잎이 여러 개면 그 확률을 더합니다. 정확히 하나만 빨간색: 빨강-파랑 또는 파랑-빨강, 20/72 + 20/72 = 40/72 = 5/9. 두 구슬이 같은 색: 20/72 + 12/72 = 32/72 = 4/9. 적어도 하나가 빨간색인 경우는 파랑-파랑을 뺀 전부입니다: 1 − 12/72 = 60/72 = 5/6. 이렇게 반대 경우를 빼는 여사건의 확률이 흔히 가장 빠른 방법입니다.
복원추출
다음 구슬을 꺼내기 전에 매번 구슬을 다시 넣으면, 꽃병은 매번 똑같고 각 추출은 서로 독립입니다. 이때 두 구슬이 모두 빨간색일 확률은 5/9 × 5/9 = 25/81 ≈ 30.9%입니다. 비복원추출에서는 빨간 구슬을 꺼내면 빨간 구슬이 줄어들기 때문에 확률이 더 작습니다. 꽃병이 크면 그 차이는 거의 사라집니다. 그래서 인구가 수백만인 나라에서 1,000명을 조사할 때 모든 응답을 서로 독립으로 다룰 수 있습니다.
조합으로 세기
수형도를 그리는 대신 셀 수도 있습니다. 구슬 두 개를 고르는 방법은 C(9, 2) = 36가지이고 모두 똑같이 일어날 수 있으며, 그중 C(5, 2) = 10가지가 빨간 구슬 두 개입니다. 10/36 = 5/18로 같은 답입니다. 꺼내는 횟수가 많으면 수형도보다 세는 편이 빠릅니다. 다시 넣지 않고 n번 꺼낼 때 빨간 구슬이 정확히 k개일 확률은 C(빨강, k) × C(파랑, n − k) / C(전체, n)이며, 이것이 초기하분포입니다.
PictorX에서 살펴보기
꽃병에서 구슬 꺼내기를 열면 빨간 구슬 5개와 파란 구슬 4개가 든 꽃병이 기다립니다. 꽃병을 클릭해 구슬을 꺼내세요. 구슬이 꽃병에서 떠올라 접시로 옮겨지고, 남은 구슬이 자리를 잡으며, 메시지가 무엇이 남았는지와 이제 빨간색이 나올 확률을 알려 줍니다. 수형도는 지나온 가지를 밝게 표시하고 모든 잎에 곱을 보여 줍니다. 질문에 해당하는 잎은 색칠되고, 그 계산 과정이 수형도 아래에 나옵니다. 각 색의 구슬을 1개에서 10개까지, 꺼내는 횟수를 두 번 또는 세 번, 복원추출 또는 비복원추출, 그리고 다섯 가지 질문 중 하나를 고를 수 있습니다. '자동 꺼내기'는 초당 최대 10,000회 속도로 최대 100,000회를 꺼내며, 차트는 '예'의 비율이 수형도에서 구한 확률에 자리 잡는 모습을 보여 줍니다.
자주 묻는 질문
비복원추출은 무슨 뜻인가요?
꺼낸 구슬을 다음에 꺼내기 전에 다시 넣지 않는다는 뜻입니다. 꺼낼 때마다 꽃병의 구슬이 하나씩 줄고, 확률이 달라집니다.
빨간 구슬 5개와 파란 구슬 4개에서 빨간 구슬 두 개가 나올 확률은 얼마인가요?
비복원추출에서는 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18, 약 27.8%입니다. 복원추출에서는 5/9 × 5/9 = 25/81, 약 30.9%입니다.
수형도의 잎을 모두 더하면 왜 1이 되나요?
모든 회차가 정확히 하나의 잎에서 끝나기 때문입니다. 각 갈림점에서 나가는 가지의 확률을 더하면 4/8 + 4/8처럼 1이 되므로, 경로를 따라 곱하면 전체 확률 1이 잎들에 나누어집니다.
구슬 두 개를 한꺼번에 꺼내는 것은 하나씩 차례로 꺼내는 것과 같나요?
네. 구슬 두 개를 한꺼번에 집어도 다시 넣지 않고 하나씩 차례로 꺼낼 때와 확률이 같습니다. 어느 것이 먼저 나왔는지 모를 뿐입니다.
항아리 모형은 어디에 쓰이나요?
정해진 집단에서 무작위로 고르는 모든 상황에 쓰입니다. 복권, 카드 게임, 품질 관리, 설문 조사, 유전학이 그 예입니다. 여기서 나오는 초기하분포는 통계학에서 피셔의 정확 검정의 바탕이기도 합니다.
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보지 않고 꽃병에서 구슬을 꺼내고, 꺼낸 구슬은 다시 넣지 마세요. 꺼낼 때마다 수형도로 따라가 보세요. 두 구슬이 모두 빨간색일 확률은 5/9 × 4/8 = 5/18입니다. 그다음 컴퓨터가 1,000회를 꺼내게 해 보세요.
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