Brachistochronen-Rennen kostenlos | Der schnellste Weg nach unten

Wie es funktioniert

Öffnen Sie diese Seite, und das Rennen beginnt. Fünf Kugeln verlassen A gemeinsam. Die Zeitmarken zeigen für jede Zehntelsekunde, wo jede Kugel war.
Ziehen Sie B, um das Ziel zu verschieben, oder zeichnen Sie Ihre eigene Bahn auf das Bild. Versuchen Sie, die Zykloide zu schlagen.
Stellen Sie Modus auf Zykloidenschale: Kugeln, die aus verschiedenen Höhen losgelassen werden, kommen gleichzeitig unten an. Speichern Sie dann ein PNG.

Erst steil, dann schnell

Eine Kugel, die am Anfang steil fällt, wird früh schnell und behält diese Geschwindigkeit für den Rest des Weges. Eine Kugel auf der geraden Rampe nimmt den kürzesten Weg, aber sie wird nur langsam schneller. Die beste Bahn hält beides im Gleichgewicht: steil am Anfang, später flacher. Dieses Gleichgewicht ist die Zykloide.

Die Kurve eines rollenden Rades

Rollen Sie ein Rad eine Linie entlang und folgen Sie einem Punkt auf seinem Rand: Er beschreibt eine Zykloide. Auf den Kopf gestellt, von A nach B, ist sie die Brachistochrone. Liegt B weit seitlich und nicht sehr tief, taucht die Zykloide sogar unter B ab und steigt wieder hinauf, und sie gewinnt trotzdem.

Dieselbe Zeit aus jeder Höhe

In einer Schale in Form einer Zykloide erreicht eine Kugel, aus beliebiger Höhe losgelassen, den tiefsten Punkt in derselben Zeit: π√(a/g), wobei a der Radius des rollenden Rades ist. Das ist die Tautochrone. In einer runden Schale kommen die Kugeln von weiter oben später an.

Häufig gestellte Fragen

Warum ist die Gerade nicht am schnellsten?

Sie ist der kürzeste Weg, aber nicht der schnellste. Auf einem sanften Gefälle wird die Kugel nur langsam schneller. Eine Bahn, die zuerst steil abfällt, bringt die Kugel früh auf Tempo, und diese Geschwindigkeit zahlt sich auf dem längeren Weg aus.

Wer hat das Brachistochronenproblem gelöst?

Johann Bernoulli stellte es 1696. Lösungen kamen von Johann selbst, seinem Bruder Jakob, Leibniz, Newton und anderen. Newtons Lösung erschien ohne seinen Namen, und Bernoulli soll ihn daran erkannt haben, wie den Löwen an seiner Klaue.

Ändern Masse und Schwerkraft den Sieger?

Nein. Die Masse der Kugel spielt keine Rolle, und stärkere Schwerkraft macht jede Kugel um denselben Faktor schneller. Die Reihenfolge im Rennen bleibt gleich, auch auf dem Mond.

Kann meine eigene Bahn gewinnen?

Nur wenn sie der Zykloide sehr nahe kommt. Eine Bahn, die über A ansteigt, bringt die Kugel nie nach B, denn ohne Reibung kann eine Kugel nie höher steigen als dort, wo sie gestartet ist.

Wird dabei etwas hochgeladen?

Nein. Das Rennen wird auf einer Leinwand in Ihrem Browser gezeichnet. Speichern lädt ein PNG herunter. Bearbeiten öffnet das Bild im PictorX-Editor.

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