Über das Galtonbrett | Zufall, Pascalsches Dreieck und Glockenkurve

Francis Galtons Maschine

Francis Galton, ein viktorianischer Wissenschaftler mit einer Leidenschaft für Vererbung und Statistik, baute das erste Brett in den 1870er-Jahren. Er beschrieb es 1889 in seinem Buch Natural Inheritance. Er nannte es Quincunx, nach dem Muster der fünf Augen auf einem Würfel, das die versetzten Nägel wiederholen.

Abpraller für Abpraller

An jedem Nagel geht eine Kugel mit gleicher Wahrscheinlichkeit nach links oder rechts, wie bei einem Münzwurf. Nach n Reihen hat sie n solcher Entscheidungen getroffen. Ihr Fach gibt an, wie oft sie nach rechts ging. Die Reihenfolge spielt keine Rolle: erst rechts, dann links endet am selben Ort wie erst links, dann rechts.

Das Pascalsche Dreieck zählt die Wege

Schreiben Sie eine 1 an den obersten Nagel. An jedem anderen Nagel addieren Sie die beiden Zahlen darüber. Das ist das Pascalsche Dreieck, und jede Zahl zählt die Wege, die zu diesem Nagel führen. Die letzte Reihe gibt die Wege in jedes Fach an. Bei 12 Reihen lautet sie 1, 12, 66, 220, 495, 792, 924 und dann wieder absteigend.

Die Binomialverteilung

Teilen Sie die Wege in ein Fach durch alle 2ⁿ Wege, und Sie erhalten die Wahrscheinlichkeit, dort zu landen. Das ist die Binomialverteilung. Auf einem fairen Brett ist der Mittelwert n/2 und die Standardabweichung √n/2. Mit einer Neigung p wird der Mittelwert n·p und die Streuung √(n·p·(1−p)).

Von Fächern zur Glockenkurve

Mit wachsender Zahl der Reihen zeichnen die Balken der Binomialverteilung die glatte Kurve der Normalverteilung nach: die Glockenkurve. Abraham de Moivre zeigte das 1733. Es ist ein erster Fall des zentralen Grenzwertsatzes: Addiert man viele kleine, unabhängige Zufallsschritte, folgt die Summe einer Glockenkurve.

Warum die Fächer nie genau stimmen

Jede Kugel ist zufällig, also streuen die Fächer um ihre erwarteten Höhen. Ein Fach, das etwa N Kugeln enthalten sollte, weicht meist um etwa √N davon ab. Lassen Sie 100 Kugeln fallen, und die Form ist grob. Lassen Sie 5000 fallen, und sie schmiegt sich an die Kurve.

Galton und die Regression zur Mitte

Galton nutzte das Brett bei seiner Arbeit über Vererbung. Er bemerkte, dass sehr große Eltern meist Kinder haben, die groß sind, aber näher am Durchschnitt. Er nannte das Regression zur Mitte, eine Idee, die heute in der ganzen Statistik verwendet wird.

In PictorX ausprobieren

Öffnen Sie das Galtonbrett, und die Kugeln beginnen sofort zu fallen. Reihen legt die Zahl der Abpraller fest, Kugeln, wie viele fallen, und Neigung die Wahrscheinlichkeit, nach rechts zu gehen. Die Glockenkurve zeigt die erwarteten Höhen, und die Zahlen unter den Fächern zählen die Kugeln. Schalten Sie Pascalsches Dreieck ein, um die Wege zu sehen, und speichern Sie dann ein PNG.

Häufig gestellte Fragen

Wer hat das Galtonbrett erfunden?

Francis Galton baute es in den 1870er-Jahren und beschrieb es 1889 in seinem Buch Natural Inheritance.

Was ist der Unterschied zwischen Binomialverteilung und Normalverteilung?

Die Binomialverteilung zählt die Erfolge in einer festen Zahl von Ja-oder-Nein-Versuchen, etwa die Abpraller nach rechts auf einem Brett. Die Normalverteilung ist die glatte Glockenkurve, der sie sich nähert, wenn die Zahl der Versuche groß ist.

Warum heißt es Quincunx?

Ein Quincunx ist das Muster der fünf Augen auf einem Würfel: vier in den Ecken und eines in der Mitte. Die versetzten Reihen von Nägeln wiederholen dieses Muster.

Ergibt ein echtes Galtonbrett eine perfekte Glockenkurve?

Nicht ganz. Echte Kugeln stoßen aneinander und können mehr als einen Schritt auf einmal springen, was die Glocke etwas breiter macht. Die Abpraller in dieser Simulation sind unabhängig, wie auf einem idealen Brett.