Über die Fibonacci-Folge | Goldener Schnitt und Binets Formel

Q: Warum nähert sich der Quotient dem Goldenen Schnitt?

Wenn die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder einen Grenzwert r annehmen, erzwingt die Rekursion r = 1 + 1/r, also r² − r − 1 = 0. Die positive Lösung ist φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887.

Q: Was ist Binets Formel?

Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5 mit ψ = (1 − √5) / 2. Die Potenz von ψ schrumpft, daher ist Fₙ die ganze Zahl, die φⁿ / √5 am nächsten liegt.

Q: Machen Lucas-Zahlen dasselbe?

Ja. Lucas-Zahlen starten bei 2 und 1 und nutzen dann dieselbe Summe. Ihre aufeinanderfolgenden Quotienten nähern sich ebenfalls φ, denn der Grenzwert kommt aus der Rekursion, nicht aus den beiden Startwerten.

Q: Verlässt die Zeichnung mein Gerät?

Nein. Folge, Spirale, Diagramm und Samen werden in Ihrem Browser berechnet. Speichern Sie ein PNG oder öffnen Sie die Leinwand im PictorX-Editor.

Zwei Zahlen und eine Summe

Die Folge beginnt üblicherweise mit F₀ = 0 und F₁ = 1. Für jedes n ab 2 gilt Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Mehr braucht es nicht: kein Extrafaktor und kein Test auf gerade oder ungerade. Aus diesen beiden Startwerten ist die Liste vollständig bestimmt: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

Die ersten Glieder

F₂ = 1 + 0 = 1. F₃ = 1 + 1 = 2. F₄ = 2 + 1 = 3. F₅ = 3 + 2 = 5. Jeder Schritt schaut nur eine und zwei Stellen zurück. Die Lucas-Folge nutzt dieselbe Addition mit anderen Startwerten, 2 und 1, und lautet 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, … Die App kann beide Folgen zeichnen. Die Quadrate der Spirale haben die Fibonacci-Seiten 1, 1, 2, 3, 5, 8, …, sodass jedes neue Quadrat an die lange Seite des bereits gezeichneten Rechtecks passt.

Warum die Quotienten einer Zahl zustreben

Schreibe rₙ = Fₙ / Fₙ₋₁. Die ersten Quotienten sind 1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1,5, 5/3 ≈ 1,6667, 8/5 = 1,6, 13/8 = 1,625, 21/13 ≈ 1,6154. Sie schwingen über und unter einem Wert nahe 1,618, und die Schwingung wird kleiner. Angenommen, die Quotienten nähern sich einem Grenzwert r. Dann sind für große n sowohl Fₙ / Fₙ₋₁ als auch Fₙ₋₁ / Fₙ₋₂ ungefähr r. Teile die Rekursion durch Fₙ₋₁: Fₙ / Fₙ₋₁ = 1 + Fₙ₋₂ / Fₙ₋₁. Im Grenzwert ist das r = 1 + 1/r. Multiplikation mit r liefert r² = r + 1 bzw. r² − r − 1 = 0. Die quadratische Formel ergibt r = (1 ± √5) / 2. Die positive Wurzel ist der Goldene Schnitt φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887.

Fibonacci-Quotienten, die zum Goldenen Schnitt schwingen — Die ersten Quotienten schwingen um φ, und jede Schwingung ist kleiner als die vorherige.

Die Gleichung in der Regel

Suche Lösungen der Form Fₙ = λⁿ. Die Rekursion wird zu λⁿ = λⁿ⁻¹ + λⁿ⁻². Division durch λⁿ⁻² ergibt λ² = λ + 1, dieselbe Gleichung wie zuvor. Ihre Wurzeln sind φ = (1 + √5) / 2 und ψ = (1 − √5) / 2. ψ liegt bei etwa −0,618, also |ψ| < 1, und seine Potenzen schrumpfen gegen 0. Jede Folge, die der Fibonacci-Regel gehorcht, ist eine Mischung dieser beiden Potenzen. Der Goldene Schnitt ist kein nachträglich angeklebtes Extra. Die Gleichung φ² = φ + 1 ist die Rekursion, geschrieben für eine reine geometrische Folge.

Binets Formel

Die Mischung, die bei 0 und 1 startet, ist Binets Formel, Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5. Weil |ψ| < 1, wird die zweite Potenz bald winzig, und Fₙ ist fast φⁿ / √5. Das fehlende Stück ist für jedes n kleiner als 1/2, daher liefert das Runden von φⁿ / √5 auf die nächste ganze Zahl die exakte Fibonacci-Zahl. Die App listet den exakten Term, die Potenz von φ und den schrumpfenden Fehler nebeneinander.

Eine lineare Regel, anders als Collatz

Fibonacci-Zahlen folgen einer linearen Rekursion: das nächste Glied ist eine feste Kombination der vorherigen, und gerade oder ungerade spielt keine Rolle. Die Collatz-Folge nutzt eine nichtlineare Paritätsregel, n/2 oder 3n+1, und niemand hat bewiesen, dass jeder Start bei 1 ankommt. Die Fibonacci-Regel ist vollständig gelöst. Geschlossene Form, Wachstum und Grenzwert beim Goldenen Schnitt kommen aus einer quadratischen Gleichung. Ändert man die beiden Startwerte wie bei der Lucas-Folge, bleibt der Grenzwert φ, denn der Grenzwert steckt in der Regel.

Der goldene Winkel

Eine volle Drehung geteilt durch φ² ergibt etwa 137,5078°. Setze Samen in diesem festen Winkel und lass den Radius wie die Quadratwurzel des Index wachsen, dann packen sich die Punkte zu Spiralen. Die Spiralen, die man zählen kann, sind aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen. Das ist die Sonnenblumen-Ansicht in der App.

In PictorX entdecken

Öffnen Sie die Fibonacci-Folge, lassen Sie die Quadrate zur Spirale wachsen, tragen Sie die Quotienten gegen φ auf, prüfen Sie Binets Formel oder streuen Sie Samen im goldenen Winkel. Wechseln Sie zu Lucas-Zahlen – die Quotienten nähern sich weiter φ. Ziehen zum Verschieben, scrollen zum Zoomen, dann PNG speichern oder die Leinwand im PictorX-Editor öffnen. Kombinieren Sie es mit der Collatz-Vermutung oder den Multiplikationskreisen für weitere Bilder aus einer kurzen Regel.

Häufig gestellte Fragen

Was ist die Fibonacci-Folge?

Die Folge mit F₀ = 0, F₁ = 1 und Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Sie beginnt 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

Warum nähert sich der Quotient dem Goldenen Schnitt?

Wenn die Quotienten aufeinanderfolgender Glieder einen Grenzwert r annehmen, erzwingt die Rekursion r = 1 + 1/r, also r² − r − 1 = 0. Die positive Lösung ist φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887.

Was ist Binets Formel?

Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5 mit ψ = (1 − √5) / 2. Die Potenz von ψ schrumpft, daher ist Fₙ die ganze Zahl, die φⁿ / √5 am nächsten liegt.

Machen Lucas-Zahlen dasselbe?

Ja. Lucas-Zahlen starten bei 2 und 1 und nutzen dann dieselbe Summe. Ihre aufeinanderfolgenden Quotienten nähern sich ebenfalls φ, denn der Grenzwert kommt aus der Rekursion, nicht aus den beiden Startwerten.

Verlässt die Zeichnung mein Gerät?

Nein. Folge, Spirale, Diagramm und Samen werden in Ihrem Browser berechnet. Speichern Sie ein PNG oder öffnen Sie die Leinwand im PictorX-Editor.