Il problema di Monty Hall

Il rompicapo

Sei in un gioco a premi e puoi scegliere una di tre porte. Dietro una porta c’è un’auto; dietro le altre, capre. Scegli una porta, diciamo la n. 1. Il conduttore, che sa che cosa c’è dietro le porte, ne apre un’altra, diciamo la n. 3, con una capra. Poi chiede: vuoi cambiare con la porta n. 2? Ti conviene cambiare?

Le regole contano: il conduttore apre sempre una porta, mai la tua e mai quella dell’auto, e offre sempre il cambio.

Tutti i casi in una tabella

Supponi di scegliere sempre la porta 1. L’auto è dietro la porta 1, 2 o 3, ciascuna con probabilità 1/3.

Auto dietro la 1: Monty apre la 2 o la 3. Tenere vince, cambiare perde. Auto dietro la 2: Monty deve aprire la 3. Tenere perde, cambiare vince. Auto dietro la 3: Monty deve aprire la 2. Tenere perde, cambiare vince.

Tenere vince in uno dei tre casi ugualmente probabili, cambiare in due. Per la porta 1 non cambia nulla quando Monty apre una porta, quindi conserva il suo 1/3, e gli altri 2/3 vanno all’unica porta che lascia chiusa.

Il teorema di Bayes

Diciamo che hai scelto la porta 1 e Monty ha aperto la porta 3. Prima che la apra, ogni porta nasconde l’auto con probabilità 1/3. Se l’auto è dietro la porta 1, apre la porta 3 con probabilità 1/2, perché può scegliere tra la 2 e la 3. Se è dietro la porta 2, apre di sicuro la porta 3. Se è dietro la porta 3, non la apre mai. Il teorema di Bayes pesa le probabilità iniziali con queste verosimiglianze:

P(auto 1 | apre 3) = (1/3 · 1/2) / (1/3 · 1/2 + 1/3 · 1 + 1/3 · 0) = 1/3 P(auto 2 | apre 3) = (1/3 · 1) / (1/2) = 2/3

La porta che il conduttore lascia chiusa nasconde l’auto il doppio delle volte rispetto alla tua.

Più porte

Con n porte ne scegli una e il conduttore apre n − 2 porte con capre, lasciando chiusa un’altra porta. Tenere vince con probabilità 1/n e cambiare con (n − 1)/n. Con 100 porte, restare sulla prima scelta significa scommettere su una probabilità dell’1% contro un conduttore che ha evitato con cura una porta precisa tra 99. L’app arriva fino a 100 porte.

Quando il conduttore non sa

Se il conduttore apre a caso le altre porte, il ragionamento cambia. Con tre porte rivela l’auto un terzo delle volte, e quelle partite non contano. Nelle partite restanti tenere e cambiare vincono ciascuno metà delle volte: vedere una capra dietro una porta aperta a caso è un indizio che rende più probabile che la tua porta nasconda l’auto, esattamente quanto basta per arrivare a 50/50. La risposta dipende non solo da ciò che vedi, ma da come si è arrivati a mostrartelo.

La controversia del 1990

Steve Selvin propose il rompicapo in una lettera a The American Statistician nel 1975 e gli diede il nome di Monty Hall, conduttore di Let's Make a Deal. Divenne famoso nel settembre 1990, quando un lettore lo sottopose a Marilyn vos Savant nella sua rubrica sulla rivista Parade e lei rispose: cambiate. Circa 10.000 lettori le scrissero, quasi un migliaio dei quali con un dottorato, la maggior parte per dirle che sbagliava. Aveva ragione lei. Paul Erdős si rifiutò di credere alla risposta finché un collega non gli mostrò una simulazione al computer, che è esattamente ciò che fa questa app.

Esploralo in PictorX

Apri il problema di Monty Hall e tre porte ti aspettano. Fai clic su una, guarda Monty aprire una porta con una capra, poi premi «Tieni» o «Cambia», oppure fai clic sulla tua porta o sull’altra porta chiusa. Le statistiche sotto contano ogni partita, e il grafico mostra le percentuali di vittoria tenendo e cambiando partita dopo partita, con linee tratteggiate ai valori teorici. «Gioca automaticamente» esegue fino a 100.000 partite a un ritmo fino a 2.000 al secondo, tenendo metà delle volte e cambiando l’altra metà, oppure facendo sempre una delle due cose. Scegli 10 o 100 porte per sentire perché cambiare vince, oppure lascia che Monty apra le porte a caso e guarda il vantaggio sparire.