Парадокс Монти Холла

Задача

Вы участвуете в телеигре и можете выбрать одну из трёх дверей. За одной дверью автомобиль, за остальными — козы. Вы выбираете дверь, скажем № 1. Ведущий, который знает, что за дверями, открывает другую дверь, скажем № 3, за которой коза. Потом он спрашивает: не хотите ли вы перейти к двери № 2? Выгодно ли вам сменить выбор?

Правила важны: ведущий всегда открывает дверь, никогда не вашу и никогда не ту, где автомобиль, и всегда предлагает смену.

Все варианты в таблице

Пусть вы всегда выбираете дверь 1. Автомобиль стоит за дверью 1, 2 или 3, за каждой с вероятностью 1/3.

Автомобиль за 1: Монти открывает 2 или 3. Без смены — выигрыш, со сменой — проигрыш. Автомобиль за 2: Монти обязан открыть 3. Без смены — проигрыш, со сменой — выигрыш. Автомобиль за 3: Монти обязан открыть 2. Без смены — проигрыш, со сменой — выигрыш.

Без смены вы выигрываете в одном из трёх равновероятных случаев, со сменой — в двух. Когда Монти открывает дверь, для двери 1 ничего не меняется, поэтому у неё остаётся её 1/3, а остальные 2/3 переходят к единственной двери, которую он оставляет закрытой.

Теорема Байеса

Пусть вы выбрали дверь 1, а Монти открыл дверь 3. До того как он её открыл, за каждой дверью автомобиль мог стоять с вероятностью 1/3. Если автомобиль за дверью 1, Монти открывает дверь 3 с вероятностью 1/2, потому что может выбирать между 2 и 3. Если он за дверью 2, Монти наверняка открывает дверь 3. Если он за дверью 3, Монти её никогда не открывает. Теорема Байеса взвешивает априорные шансы этими правдоподобиями:

P(автомобиль 1 | открывает 3) = (1/3 · 1/2) / (1/3 · 1/2 + 1/3 · 1 + 1/3 · 0) = 1/3 P(автомобиль 2 | открывает 3) = (1/3 · 1) / (1/2) = 2/3

Дверь, которую ведущий оставляет закрытой, скрывает автомобиль вдвое чаще, чем ваша.

Больше дверей

При n дверях вы выбираете одну, а ведущий открывает n − 2 двери с козами, оставляя закрытой ещё одну. Без смены вы выигрываете с вероятностью 1/n, со сменой — с вероятностью (n − 1)/n. При 100 дверях держаться за первый выбор значит ставить на шанс в 1% против ведущего, который старательно обошёл одну определённую дверь из 99. Приложение поддерживает до 100 дверей.

Когда ведущий не знает

Если ведущий открывает другие двери наугад, рассуждение меняется. При трёх дверях он в трети случаев показывает автомобиль, и эти игры не считаются. В остальных играх и смена, и отказ от смены выигрывают в половине случаев: коза за случайно открытой дверью — это свидетельство, которое делает более вероятным, что автомобиль за вашей дверью, ровно настолько, чтобы получилось 50 на 50. Ответ зависит не только от того, что вы видите, но и от того, как это оказалось вам показано.

Спор 1990 года

Стив Селвин предложил эту задачу в 1975 году в письме в журнал «The American Statistician» и назвал её в честь Монти Холла, ведущего «Let's Make a Deal». Знаменитой она стала в сентябре 1990 года, когда читатель задал её Мэрилин вос Савант в её колонке в журнале «Parade», и она ответила: менять. Ей написали около 10 000 читателей, почти тысяча из них с учёной степенью, и большинство утверждали, что она ошибается. Она была права. Пал Эрдёш отказывался верить ответу, пока коллега не показал ему компьютерную симуляцию, а именно это и делает наше приложение.

Исследуйте в PictorX

Откройте парадокс Монти Холла, и вас ждут три двери. Нажмите на одну, посмотрите, как Монти открывает дверь с козой, а затем нажмите «Остаться» или «Сменить» либо нажмите на свою дверь или на другую закрытую. Статистика внизу учитывает каждую игру, а график показывает доли выигрышей без смены и со сменой по мере накопления игр, с пунктирными линиями на теоретических значениях. «Играть автоматически» проводит до 100 000 игр со скоростью до 2000 в секунду, оставаясь в половине игр и меняя дверь в другой половине или всегда делая что-то одно. Выберите 10 или 100 дверей, чтобы почувствовать, почему смена выигрывает, или позвольте Монти открывать двери наугад и смотрите, как преимущество исчезает.