Monty Hall-problemet

Gåden

Du er med i et gameshow og må vælge en af tre døre. Bag den ene dør står en bil, bag de andre geder. Du vælger en dør, lad os sige nr. 1. Værten, der ved, hvad der er bag dørene, åbner en anden dør, lad os sige nr. 3, med en ged bag. Så spørger han: Vil du skifte til dør nr. 2? Er det en fordel for dig at skifte?

Reglerne betyder noget: Værten åbner altid en dør, aldrig din og aldrig den med bilen, og han tilbyder dig altid at skifte.

Alle tilfælde i en tabel

Antag, at du altid vælger dør 1. Bilen står bag dør 1, 2 eller 3, hver med sandsynligheden 1/3.

Bil bag 1: Monty åbner 2 eller 3. At beholde vinder, at skifte taber. Bil bag 2: Monty skal åbne 3. At beholde taber, at skifte vinder. Bil bag 3: Monty skal åbne 2. At beholde taber, at skifte vinder.

At beholde vinder i et af de tre lige sandsynlige tilfælde, at skifte i to. Intet ved dør 1 ændrer sig, når Monty åbner en dør, så den beholder sin 1/3, og de øvrige 2/3 går til den ene dør, han lader være lukket.

Bayes’ sætning

Sig, at du valgte dør 1, og Monty åbnede dør 3. Før han åbner den, skjuler hver dør bilen med sandsynligheden 1/3. Står bilen bag dør 1, åbner han dør 3 med sandsynligheden 1/2, fordi han kan vælge mellem 2 og 3. Står den bag dør 2, åbner han med sikkerhed dør 3. Står den bag dør 3, åbner han den aldrig. Bayes’ sætning vægter de oprindelige chancer med disse sandsynligheder:

P(bil 1 | åbner 3) = (1/3 · 1/2) / (1/3 · 1/2 + 1/3 · 1 + 1/3 · 0) = 1/3 P(bil 2 | åbner 3) = (1/3 · 1) / (1/2) = 2/3

Den dør, værten lader være lukket, skjuler bilen dobbelt så ofte som din.

Flere døre

Med n døre vælger du én, og værten åbner n − 2 døre med geder, så én anden dør forbliver lukket. At beholde vinder med sandsynligheden 1/n og at skifte med (n − 1)/n. Med 100 døre betyder det at holde fast i dit første gæt, at du satser på en chance på 1% mod en vært, der omhyggeligt har undgået én bestemt dør blandt 99. Appen går op til 100 døre.

Når værten ikke ved det

Hvis værten åbner de andre døre tilfældigt, ændrer ræsonnementet sig. Med tre døre afslører han bilen i en tredjedel af tilfældene, og de spil tæller ikke. I de resterende spil vinder det at beholde og det at skifte hver halvdelen af gangene: At se en ged bag en tilfældigt åbnet dør er et tegn, der gør det mere sandsynligt, at din egen dør skjuler bilen, præcis nok til at gøre det 50/50. Svaret afhænger ikke kun af, hvad du ser, men også af, hvordan det kom til at blive vist.

Striden i 1990

Steve Selvin stillede gåden i et brev til The American Statistician i 1975 og opkaldte den efter Monty Hall, vært for Let's Make a Deal. Den blev berømt i september 1990, da en læser forelagde den for Marilyn vos Savant i hendes klumme i magasinet Parade, og hun svarede: skift. Omkring 10.000 læsere skrev ind, næsten tusind af dem med en ph.d., og de fleste sagde, at hun tog fejl. Hun havde ret. Paul Erdős nægtede at tro på svaret, indtil en kollega viste ham en computersimulering, og det er præcis, hvad denne app gør.

Udforsk det i PictorX

Åbn Monty Hall-problemet, og tre døre venter. Klik på én, se Monty åbne en dør med en ged, og tryk så på »Behold« eller »Skift«, eller klik på din dør eller den anden lukkede. Statistikken nedenunder tæller hvert spil, og diagrammet viser gevinstandelene ved at beholde og skifte, efterhånden som spillene hober sig op, med stiplede linjer ved teoriens værdier. »Spil automatisk« kører op til 100.000 spil med op til 2.000 i sekundet og beholder halvdelen af gangene og skifter resten eller gør altid det ene af de to. Vælg 10 eller 100 døre for at mærke, hvorfor det vinder at skifte, eller lad Monty åbne døre tilfældigt, og se fordelen forsvinde.