Problema Monty Hall

Enigma

Ești la o emisiune-concurs și poți alege una din trei uși. În spatele unei uși e o mașină; în spatele celorlalte, capre. Alegi o ușă, să zicem nr. 1. Prezentatorul, care știe ce e în spatele ușilor, deschide altă ușă, să zicem nr. 3, în spatele căreia e o capră. Apoi te întreabă: vrei să schimbi cu ușa nr. 2? Ai vreun avantaj dacă schimbi?

Regulile contează: prezentatorul deschide mereu o ușă, niciodată pe a ta și niciodată pe cea cu mașina, și îți oferă mereu schimbarea.

Toate cazurile într-un tabel

Să presupunem că alegi mereu ușa 1. Mașina e în spatele ușii 1, 2 sau 3, fiecare cu probabilitatea 1/3.

Mașina în spatele ușii 1: Monty deschide 2 sau 3. Rămânerea câștigă, schimbarea pierde. Mașina în spatele ușii 2: Monty trebuie să deschidă 3. Rămânerea pierde, schimbarea câștigă. Mașina în spatele ușii 3: Monty trebuie să deschidă 2. Rămânerea pierde, schimbarea câștigă.

Rămânerea câștigă într-unul din cele trei cazuri la fel de probabile, schimbarea în două. Pentru ușa 1 nu se schimbă nimic când Monty deschide o ușă, așa că își păstrează 1/3, iar celelalte 2/3 trec la singura ușă pe care o lasă închisă.

Teorema lui Bayes

Să zicem că ai ales ușa 1 și Monty a deschis ușa 3. Înainte s-o deschidă, fiecare ușă ascunde mașina cu probabilitatea 1/3. Dacă mașina e în spatele ușii 1, el deschide ușa 3 cu probabilitatea 1/2, pentru că poate alege între 2 și 3. Dacă e în spatele ușii 2, deschide sigur ușa 3. Dacă e în spatele ușii 3, n-o deschide niciodată. Teorema lui Bayes cântărește șansele inițiale cu aceste verosimilități:

P(mașina 1 | deschide 3) = (1/3 · 1/2) / (1/3 · 1/2 + 1/3 · 1 + 1/3 · 0) = 1/3 P(mașina 2 | deschide 3) = (1/3 · 1) / (1/2) = 2/3

Ușa pe care prezentatorul o lasă închisă ascunde mașina de două ori mai des decât a ta.

Mai multe uși

Cu n uși, alegi una, iar prezentatorul deschide n − 2 uși cu capre, lăsând închisă o altă ușă. Rămânerea câștigă cu probabilitatea 1/n, iar schimbarea cu (n − 1)/n. Cu 100 de uși, să rămâi la prima alegere înseamnă să pariezi pe o șansă de 1% împotriva unui prezentator care a evitat cu grijă o anumită ușă dintre 99. Aplicația merge până la 100 de uși.

Când prezentatorul nu știe

Dacă prezentatorul deschide celelalte uși la întâmplare, raționamentul se schimbă. Cu trei uși, el dezvăluie mașina într-o treime din cazuri, iar acele jocuri nu se iau în calcul. În jocurile rămase, rămânerea și schimbarea câștigă fiecare jumătate din timp: o capră în spatele unei uși deschise la întâmplare este un indiciu care face mai probabil ca ușa ta să ascundă mașina, exact cât să ajungă la 50/50. Răspunsul depinde nu doar de ce vezi, ci și de felul în care ți-a fost arătat.

Controversa din 1990

Steve Selvin a propus enigma într-o scrisoare către The American Statistician în 1975 și i-a dat numele lui Monty Hall, prezentatorul emisiunii Let's Make a Deal. A devenit celebră în septembrie 1990, când un cititor i-a trimis-o lui Marilyn vos Savant pentru rubrica ei din revista Parade, iar ea a răspuns: schimbați. Aproximativ 10.000 de cititori i-au scris, aproape o mie dintre ei cu doctorat, cei mai mulți ca să-i spună că greșește. Avea dreptate. Paul Erdős a refuzat să creadă răspunsul până când un coleg i-a arătat o simulare pe calculator, exact ce face această aplicație.

Explorează-l în PictorX

Deschide problema Monty Hall și te așteaptă trei uși. Dă clic pe una, privește cum Monty deschide o ușă cu o capră, apoi apasă „Rămâi” sau „Schimbă” ori dă clic pe ușa ta sau pe cealaltă ușă închisă. Statisticile de dedesubt numără fiecare joc, iar graficul arată ratele de câștig când rămâi și când schimbi pe măsură ce se adună jocurile, cu linii punctate la valorile teoretice. „Joacă automat” rulează până la 100.000 de jocuri, cu până la 2.000 pe secundă, rămânând jumătate din timp și schimbând cealaltă jumătate sau făcând mereu unul dintre cele două. Alege 10 sau 100 de uși ca să simți de ce câștigă schimbarea, ori lasă-l pe Monty să deschidă uși la întâmplare și urmărește cum dispare avantajul.