蒙特卡洛方法与 π

把面积看作概率

在正方形里随机取一个点，每个位置的可能性都相同。它落在某个区域的概率，等于这个区域的面积除以正方形的面积。半径为 1 的圆面积为 π，外面的正方形边长为 2，面积为 4。所以随机点落在圆内的概率是 P = π/4 ≈ 0.785。

从命中数到 π

投出 N 支飞镖，数出落在圆内的命中数 H。比例 H/N 是 π/4 的估计，所以

π ≈ 4H / N

判断是否命中根本不需要 π：以圆心为原点、以半径为单位测量的点 (x, y)，当 x² + y² ≤ 1 时就在圆内。π 是从计数中得出来的。

四分之一圆版本把圆心放在边长为 1 的正方形的一个角上。四分之一圆同样占这个正方形面积的 π/4，所以公式不变。

大数定律

每支飞镖都是一个只有两种结果的小实验：以概率 p = π/4 命中，或者未命中。大数定律由雅各布·伯努利证明，于 1713 年发表。它说明随着 N 增大，命中比例可以任意接近 p。它并不是说命中和未命中会在短期内相互抵消：估计值可能会长时间偏离 π，然后才回来。

收敛有多快？

命中数服从二项分布。把它的标准差换算到 π 的尺度上，就得到典型误差

σ ≈ 4 · √(p(1 − p) / N) ≈ 1.64 / √N

投 100 支后约为 0.16，投 1 万支后约为 0.016，投 100 万支后约为 0.0016。误差随 N 的平方根缩小：飞镖增加到一百倍，才能多得一位正确数字。在应用中，阴影带是 ±1.96σ，包含所有模拟的 95%；估计值后面的 ± 是一个标准误差。

名字的由来

1946 年，正在养病的斯坦尼斯拉夫·乌拉姆想知道玩一局单人纸牌获胜的可能性有多大。他没有去数所有可能的发牌方式，而是想到干脆玩很多局，再数赢了多少局。他和约翰·冯·诺依曼把这个想法变成了洛斯阿拉莫斯中子计算的一种方法，他们的同事尼古拉斯·梅特罗波利斯以蒙特卡洛赌场为它命名——乌拉姆的叔叔很喜欢在那里赌博。更早的随机实验，比如 1777 年的布丰投针，早已以同样的思路估算过 π。

在 PictorX 中探索

打开蒙特卡洛求 π，飞镖已经在飞了，每秒一千支。计数器会给已经与 π 相符的数字上色，图表在对数坐标轴上显示估计值，以及 95% 的模拟最终所在的带状区域。“慢动作”每秒投一支飞镖，并画出它到圆心的距离；点击正方形可以自己投一支。“一百万支飞镖”一次投出全部飞镖。“四分之一圆”切换到角落版本，“淡化旧飞镖”让画面在高速时依然清晰生动。保存为 PNG，或者与布丰投针比较一下，它用落下的针来估算 π。