El problema de Monty Hall

El acertijo

Estás en un concurso y puedes elegir una de tres puertas. Detrás de una puerta hay un coche; detrás de las otras, cabras. Eliges una puerta, digamos la n.º 1. El presentador, que sabe qué hay detrás de las puertas, abre otra, digamos la n.º 3, que tiene una cabra. Luego pregunta: ¿quieres cambiar a la puerta n.º 2? ¿Te conviene cambiar?

Las reglas importan: el presentador siempre abre una puerta, nunca la tuya y nunca la del coche, y siempre ofrece el cambio.

Todos los casos en una tabla

Supón que siempre eliges la puerta 1. El coche está detrás de la puerta 1, 2 o 3, cada una con probabilidad 1/3.

Coche detrás de la 1: Monty abre la 2 o la 3. Mantener gana, cambiar pierde. Coche detrás de la 2: Monty tiene que abrir la 3. Mantener pierde, cambiar gana. Coche detrás de la 3: Monty tiene que abrir la 2. Mantener pierde, cambiar gana.

Mantener gana en uno de los tres casos igual de probables; cambiar, en dos. Para la puerta 1 nada cambia cuando Monty abre una puerta, así que conserva su 1/3, y los otros 2/3 pasan a la única puerta que deja cerrada.

El teorema de Bayes

Digamos que elegiste la puerta 1 y Monty abrió la puerta 3. Antes de que la abra, cada puerta esconde el coche con probabilidad 1/3. Si el coche está detrás de la puerta 1, abre la puerta 3 con probabilidad 1/2, porque puede elegir entre la 2 y la 3. Si está detrás de la puerta 2, abre la puerta 3 con toda seguridad. Si está detrás de la puerta 3, nunca la abre. El teorema de Bayes pondera las probabilidades iniciales con estas verosimilitudes:

P(coche 1 | abre 3) = (1/3 · 1/2) / (1/3 · 1/2 + 1/3 · 1 + 1/3 · 0) = 1/3 P(coche 2 | abre 3) = (1/3 · 1) / (1/2) = 2/3

La puerta que el presentador deja cerrada esconde el coche el doble de veces que la tuya.

Más puertas

Con n puertas eliges una y el presentador abre n − 2 puertas con cabras, dejando otra puerta cerrada. Mantener gana con probabilidad 1/n y cambiar con (n − 1)/n. Con 100 puertas, aferrarte a tu primera elección significa apostar por una probabilidad del 1 % contra un presentador que ha evitado con cuidado una puerta concreta entre 99. La aplicación llega hasta 100 puertas.

Cuando el presentador no sabe

Si el presentador abre las otras puertas al azar, el razonamiento cambia. Con tres puertas descubre el coche una de cada tres veces, y esas partidas no cuentan. En las partidas restantes, mantener y cambiar ganan cada uno la mitad de las veces: ver una cabra detrás de una puerta abierta al azar es un indicio que hace más probable que tu propia puerta esconda el coche, justo lo suficiente para que quede en 50/50. La respuesta depende no solo de lo que ves, sino de cómo llegó a mostrarse.

La polémica de 1990

Steve Selvin planteó el acertijo en una carta a The American Statistician en 1975 y le puso el nombre de Monty Hall, presentador de Let's Make a Deal. Se hizo famoso en septiembre de 1990, cuando un lector se lo planteó a Marilyn vos Savant en su columna de la revista Parade y ella respondió: hay que cambiar. Unos 10 000 lectores le escribieron, casi un millar de ellos con un doctorado, y la mayoría para decirle que se equivocaba. Tenía razón. Paul Erdős se negó a creer la respuesta hasta que un colega le mostró una simulación por ordenador, que es exactamente lo que hace esta aplicación.

Explóralo en PictorX

Abre el problema de Monty Hall y tres puertas te esperan. Haz clic en una, mira cómo Monty abre una puerta con una cabra y luego pulsa «Mantener» o «Cambiar», o haz clic en tu puerta o en la otra cerrada. Las estadísticas de abajo cuentan cada partida, y el gráfico muestra las tasas de victoria al mantener y al cambiar a medida que se suman partidas, con líneas discontinuas en los valores teóricos. «Jugar automáticamente» lanza hasta 100 000 partidas a un ritmo de hasta 2000 por segundo, manteniendo la mitad de las veces y cambiando la otra mitad, o haciendo siempre una de las dos cosas. Elige 10 o 100 puertas para sentir por qué cambiar gana, o deja que Monty abra puertas al azar y mira cómo desaparece la ventaja.