مسألة مونتي هول

اللغز

أنت في برنامج مسابقات ويمكنك اختيار باب من ثلاثة. خلف أحد الأبواب سيارة، وخلف الأخرى ماعز. تختار بابًا، وليكن رقم 1. يفتح المقدّم، الذي يعرف ما خلف الأبواب، بابًا آخر، وليكن رقم 3، خلفه عنزة. ثم يسألك: هل تريد التبديل إلى الباب رقم 2؟ هل من مصلحتك أن تبدّل؟

القواعد مهمة: يفتح المقدّم دائمًا بابًا، لا يكون أبدًا بابك ولا باب السيارة، ويعرض عليك التبديل دائمًا.

كل الحالات في جدول

لنفترض أنك تختار الباب 1 دائمًا. السيارة خلف الباب 1 أو 2 أو 3، لكلٍّ منها احتمال 1/3.

السيارة خلف 1: يفتح مونتي 2 أو 3. البقاء يربح، والتبديل يخسر. السيارة خلف 2: على مونتي أن يفتح 3. البقاء يخسر، والتبديل يربح. السيارة خلف 3: على مونتي أن يفتح 2. البقاء يخسر، والتبديل يربح.

يربح البقاء في حالة واحدة من الحالات الثلاث المتساوية الاحتمال، ويربح التبديل في حالتين. لا يتغير شيء في الباب 1 حين يفتح مونتي بابًا، فيحتفظ باحتماله 1/3، وتنتقل الـ2/3 الباقية إلى الباب الوحيد الذي يتركه مغلقًا.

مبرهنة بايز

لنقل إنك اخترت الباب 1 وفتح مونتي الباب 3. قبل أن يفتحه، يخفي كل باب السيارة باحتمال 1/3. إذا كانت السيارة خلف الباب 1، فإنه يفتح الباب 3 باحتمال 1/2، لأنه يستطيع الاختيار بين 2 و3. وإذا كانت خلف الباب 2، فإنه يفتح الباب 3 حتمًا. وإذا كانت خلف الباب 3، فلا يفتحه أبدًا. تزن مبرهنة بايز الاحتمالات المسبقة بهذه الأرجحيات:

P(car 1 | opens 3) = (1/3 · 1/2) / (1/3 · 1/2 + 1/3 · 1 + 1/3 · 0) = 1/3 P(car 2 | opens 3) = (1/3 · 1) / (1/2) = 2/3

الباب الذي يتركه المقدّم مغلقًا يخفي السيارة ضعف ما يخفيها بابك.

أبواب أكثر

مع n من الأبواب تختار بابًا واحدًا، ويفتح المقدّم n − 2 من الأبواب خلفها ماعز، تاركًا بابًا آخر مغلقًا. يربح البقاء باحتمال 1/n والتبديل باحتمال (n − 1)/n. ومع 100 باب، يعني التمسك بتخمينك الأول أن تراهن على فرصة 1% في مواجهة مقدّم تجنّب بعناية بابًا بعينه من بين 99. يتيح التطبيق حتى 100 باب.

حين لا يعرف المقدّم

إذا فتح المقدّم الأبواب الأخرى عشوائيًا، يتغير الاستدلال. مع ثلاثة أبواب يكشف السيارة في ثلث المرات، وتلك الألعاب لا تُحتسب. وفي الألعاب الباقية يربح البقاء والتبديل كلٌّ منهما في نصف المرات: فرؤية عنزة خلف باب فُتح عشوائيًا دليل يجعل احتمال أن يخفي بابك أنت السيارة أكبر، بالقدر الكافي تمامًا لتصبح الفرص 50/50. فالجواب لا يتوقف على ما تراه فحسب، بل على الطريقة التي عُرض بها أيضًا.

جدل عام 1990

طرح ستيف سيلفن اللغز في رسالة إلى مجلة «The American Statistician» عام 1975، وسمّاه باسم مونتي هول، مقدّم برنامج «Let's Make a Deal». واشتهر في سبتمبر 1990 حين عرضه قارئ على مارلين فوس سافانت في عمودها في مجلة «باريد» فأجابت: بدّل. كتب إليها نحو 10,000 قارئ، قرابة ألف منهم يحملون الدكتوراه، وقال لها معظمهم إنها مخطئة. وكانت على حق. رفض بول إيردوس تصديق الجواب حتى أراه زميل له محاكاة حاسوبية، وهذا بالضبط ما يفعله هذا التطبيق.

استكشفها في PictorX

افتح مسألة مونتي هول فتجد ثلاثة أبواب بانتظارك. انقر على واحد، وشاهد مونتي يفتح بابًا خلفه عنزة، ثم اضغط «البقاء» أو «التبديل»، أو انقر على بابك أو على الباب المغلق الآخر. تَعُدّ الإحصاءات في الأسفل كل لعبة، ويعرض المخطط نسب الفوز عند البقاء وعند التبديل مع تراكم الألعاب، مع خطوط متقطعة عند القيم النظرية. يلعب «لعب تلقائي» حتى 100,000 لعبة بسرعة تصل إلى 2000 في الثانية، فيبقى في نصف المرات ويبدّل في نصفها، أو يفعل دائمًا أحد الأمرين. اختر 10 أبواب أو 100 لتشعر لماذا يربح التبديل، أو دع مونتي يفتح الأبواب عشوائيًا وشاهد الأفضلية تختفي.