Monty Hall problemi

Bulmaca

Bir yarışma programındasınız ve üç kapıdan birini seçebilirsiniz. Kapılardan birinin arkasında bir araba, diğerlerinin arkasında keçiler var. Bir kapı seçiyorsunuz, diyelim 1 numara. Kapıların arkasında ne olduğunu bilen sunucu başka bir kapıyı, diyelim 3 numarayı açıyor; arkasında keçi var. Sonra soruyor: 2 numaralı kapıya geçmek ister misiniz? Değiştirmek sizin yararınıza mı?

Kurallar önemlidir: sunucu her zaman bir kapı açar; bu asla sizin kapınız ya da arabanın kapısı olmaz. Değiştirme teklifini de her zaman yapar.

Tüm durumlar bir tabloda

Her zaman 1 numaralı kapıyı seçtiğinizi varsayalım. Araba 1, 2 ya da 3 numaralı kapının arkasındadır; her birinin olasılığı 1/3’tür.

Araba 1’in arkasında: Monty 2’yi ya da 3’ü açar. Kalmak kazanır, değiştirmek kaybeder. Araba 2’nin arkasında: Monty 3’ü açmak zorundadır. Kalmak kaybeder, değiştirmek kazanır. Araba 3’ün arkasında: Monty 2’yi açmak zorundadır. Kalmak kaybeder, değiştirmek kazanır.

Kalmak, eşit olasılıklı üç durumdan birinde, değiştirmek ikisinde kazanır. Monty bir kapı açtığında 1 numaralı kapı için hiçbir şey değişmez; bu yüzden o kapı 1/3’ünü korur, geri kalan 2/3 ise kapalı bıraktığı tek kapıya geçer.

Bayes teoremi

Diyelim ki 1 numaralı kapıyı seçtiniz ve Monty 3 numaralı kapıyı açtı. O açmadan önce her kapının arkasında araba olma olasılığı 1/3’tür. Araba 1 numaranın arkasındaysa, 2 ile 3 arasında seçim yapabildiği için 3’ü 1/2 olasılıkla açar. 2 numaranın arkasındaysa 3’ü kesinlikle açar. 3 numaranın arkasındaysa onu asla açmaz. Bayes teoremi başlangıçtaki şansları bu olabilirliklerle ağırlıklandırır:

P(araba 1 | açar 3) = (1/3 · 1/2) / (1/3 · 1/2 + 1/3 · 1 + 1/3 · 0) = 1/3 P(araba 2 | açar 3) = (1/3 · 1) / (1/2) = 2/3

Sunucunun kapalı bıraktığı kapı, arabayı sizinkinin iki katı sıklıkla saklar.

Daha fazla kapı

n kapı varken birini seçersiniz ve sunucu keçili n − 2 kapıyı açarak başka bir kapıyı kapalı bırakır. Kalmak 1/n, değiştirmek (n − 1)/n olasılıkla kazanır. 100 kapıda ilk tahmininizde ısrar etmek, 99 kapı arasından belirli bir kapıyı özenle atlayan bir sunucuya karşı yüzde 1’lik bir şansa bahis oynamak demektir. Uygulama 100 kapıya kadar çıkar.

Sunucu bilmediğinde

Sunucu diğer kapıları rastgele açarsa akıl yürütme değişir. Üç kapıda arabayı oyunların üçte birinde ortaya çıkarır ve bu oyunlar sayılmaz. Kalan oyunlarda kalmak da değiştirmek de oyunların yarısında kazanır: rastgele açılmış bir kapının arkasında keçi görmek, kendi kapınızın arabayı saklama olasılığını artıran bir ipucudur; tam da 50/50 yapacak kadar. Cevap yalnızca ne gördüğünüze değil, bunun size nasıl gösterildiğine de bağlıdır.

1990 tartışması

Steve Selvin bulmacayı 1975’te The American Statistician’a yazdığı bir mektupta ortaya attı ve ona Let's Make a Deal’in sunucusu Monty Hall’un adını verdi. Bulmaca Eylül 1990’da, bir okur onu Parade dergisindeki köşesinde Marilyn vos Savant’a sorduğunda ve o da “değiştirin” diye yanıtladığında ünlendi. Yaklaşık 10.000 okur ona yazdı; bunların neredeyse bini doktoralıydı ve çoğu ona yanıldığını söylüyordu. Haklı olan oydu. Paul Erdős, bir meslektaşı ona bir bilgisayar simülasyonu gösterene kadar cevaba inanmayı reddetti; bu uygulamanın yaptığı da tam olarak budur.

PictorX’te keşfedin

Monty Hall problemini açın; sizi üç kapı bekliyor. Birine tıklayın, Monty’nin keçili bir kapıyı açmasını izleyin, sonra “Kal” ya da “Değiştir” düğmesine basın veya kendi kapınıza ya da kapalı olan diğer kapıya tıklayın. Alttaki istatistikler her oyunu sayar; grafik ise oyunlar biriktikçe kalmanın ve değiştirmenin kazanma oranlarını, teorideki değerlerde kesikli çizgilerle gösterir. “Otomatik oyna”, saniyede 2.000’e varan hızla 100.000’e kadar oyun oynar; oyunların yarısında kalır, yarısında değiştirir ya da hep ikisinden birini yapar. Değiştirmenin neden kazandığını hissetmek için 10 ya da 100 kapı seçin veya Monty’nin kapıları rastgele açmasına izin verin ve avantajın kaybolmasını izleyin.