मॉन्टी हॉल समस्या

पहेली

आप एक गेम शो में हैं और तीन दरवाज़ों में से एक चुन सकते हैं। एक दरवाज़े के पीछे कार है; बाकी के पीछे बकरियाँ। आप एक दरवाज़ा चुनते हैं, मान लीजिए नंबर 1। होस्ट, जिसे पता है कि दरवाज़ों के पीछे क्या है, कोई दूसरा दरवाज़ा खोलता है, मान लीजिए नंबर 3, जिसके पीछे बकरी है। फिर वह पूछता है: क्या आप दरवाज़ा नंबर 2 पर बदलना चाहेंगे? क्या बदलने में आपका फ़ायदा है?

नियम मायने रखते हैं: होस्ट हमेशा एक दरवाज़ा खोलता है, कभी आपका नहीं और कभी कार वाला नहीं, और वह हमेशा बदलने का मौका देता है।

सभी स्थितियाँ एक तालिका में

मान लीजिए आप हमेशा दरवाज़ा 1 चुनते हैं। कार दरवाज़ा 1, 2 या 3 के पीछे है, हर एक की प्रायिकता 1/3।

कार 1 के पीछे: मॉन्टी 2 या 3 खोलता है। टिके रहना जीतता है, बदलना हारता है। कार 2 के पीछे: मॉन्टी को 3 खोलना पड़ता है। टिके रहना हारता है, बदलना जीतता है। कार 3 के पीछे: मॉन्टी को 2 खोलना पड़ता है। टिके रहना हारता है, बदलना जीतता है।

तीन समान रूप से संभावित स्थितियों में से टिके रहना एक में जीतता है, बदलना दो में। जब मॉन्टी कोई दरवाज़ा खोलता है, तो दरवाज़ा 1 के बारे में कुछ नहीं बदलता, इसलिए उसकी 1/3 बनी रहती है, और बाकी 2/3 उस अकेले दरवाज़े को मिल जाती है जिसे वह बंद छोड़ता है।

बेज़ प्रमेय

मान लीजिए आपने दरवाज़ा 1 चुना और मॉन्टी ने दरवाज़ा 3 खोला। उसके खोलने से पहले, हर दरवाज़े के पीछे कार होने की प्रायिकता 1/3 है। अगर कार दरवाज़ा 1 के पीछे है, तो वह दरवाज़ा 3 को 1/2 प्रायिकता से खोलता है, क्योंकि वह 2 और 3 में से चुन सकता है। अगर कार दरवाज़ा 2 के पीछे है, तो वह निश्चित रूप से दरवाज़ा 3 खोलता है। अगर कार दरवाज़ा 3 के पीछे है, तो वह उसे कभी नहीं खोलता। बेज़ प्रमेय पूर्व प्रायिकताओं को इन संभाविताओं से भार देता है:

P(कार 1 | खोले 3) = (1/3 · 1/2) / (1/3 · 1/2 + 1/3 · 1 + 1/3 · 0) = 1/3 P(कार 2 | खोले 3) = (1/3 · 1) / (1/2) = 2/3

होस्ट जो दरवाज़ा बंद छोड़ता है, उसके पीछे कार आपके दरवाज़े से दोगुनी बार होती है।

और ज़्यादा दरवाज़े

n दरवाज़ों के साथ आप एक चुनते हैं और होस्ट बकरियों वाले n − 2 दरवाज़े खोल देता है, एक और दरवाज़ा बंद छोड़कर। टिके रहना 1/n प्रायिकता से जीतता है और बदलना (n − 1)/n से। 100 दरवाज़ों के साथ अपने पहले अनुमान पर अड़े रहने का मतलब है 1% संभावना पर दाँव लगाना, उस होस्ट के ख़िलाफ़ जिसने 99 में से एक ख़ास दरवाज़े को सावधानी से छोड़ दिया। ऐप में 100 तक दरवाज़े हो सकते हैं।

जब होस्ट को पता न हो

अगर होस्ट बाकी दरवाज़े बेतरतीब खोलता है, तो तर्क बदल जाता है। तीन दरवाज़ों के साथ वह एक-तिहाई बार कार दिखा देता है, और वे गेम नहीं गिने जाते। बाकी गेम में टिके रहना और बदलना दोनों आधी-आधी बार जीतते हैं: बेतरतीब खोले गए दरवाज़े के पीछे बकरी दिखना एक ऐसा सबूत है जो आपके अपने दरवाज़े के पीछे कार होने की संभावना बढ़ा देता है, ठीक इतनी कि बात 50/50 हो जाए। उत्तर सिर्फ़ इस पर निर्भर नहीं करता कि आप क्या देखते हैं, बल्कि इस पर भी कि वह दिखाया कैसे गया।

1990 का विवाद

स्टीव सेल्विन ने 1975 में The American Statistician को लिखे एक पत्र में यह पहेली रखी और इसका नाम Let's Make a Deal के होस्ट मॉन्टी हॉल के नाम पर रखा। यह सितंबर 1990 में मशहूर हुई, जब एक पाठक ने इसे परेड पत्रिका में मर्लिन वॉस सावंत के कॉलम में पूछा और उन्होंने जवाब दिया: बदलिए। लगभग 10,000 पाठकों ने पत्र लिखे, उनमें से क़रीब एक हज़ार पीएचडी धारक थे, और ज़्यादातर ने कहा कि वे गलत हैं। वे सही थीं। पॉल एर्डोश ने तब तक जवाब पर यक़ीन नहीं किया जब तक एक सहकर्मी ने उन्हें कंप्यूटर सिमुलेशन नहीं दिखाया, और यही यह ऐप करता है।

PictorX में आज़माएँ

मॉन्टी हॉल समस्या खोलें और तीन दरवाज़े इंतज़ार कर रहे हैं। एक पर क्लिक करें, मॉन्टी को बकरी वाला दरवाज़ा खोलते देखें, फिर "टिके रहें" या "बदलें" दबाएँ, या अपने दरवाज़े या दूसरे बंद दरवाज़े पर क्लिक करें। नीचे के आँकड़े हर गेम गिनते हैं, और चार्ट गेम बढ़ने के साथ टिके रहने और बदलने की जीत की दरें दिखाता है, सैद्धांतिक मानों पर डैश वाली रेखाओं के साथ। "अपने-आप खेलें" 2,000 प्रति सेकंड तक की रफ़्तार से 100,000 तक गेम चलाता है, आधी बार टिके रहकर और आधी बार बदलकर, या हमेशा दोनों में से एक ही करके। 10 या 100 दरवाज़े चुनें ताकि महसूस हो कि बदलना क्यों जीतता है, या मॉन्टी को दरवाज़े बेतरतीब खोलने दें और फ़ायदा गायब होते देखें।