Masalah Monty Hall

Teka-tekinya

Anda ikut acara kuis dan boleh memilih satu dari tiga pintu. Di balik satu pintu ada mobil; di balik pintu lainnya, kambing. Anda memilih sebuah pintu, misalnya No. 1. Pembawa acara, yang tahu apa yang ada di balik pintu-pintu itu, membuka pintu lain, misalnya No. 3, yang berisi kambing. Lalu ia bertanya: apakah Anda mau pindah ke pintu No. 2? Apakah mengganti pilihan menguntungkan Anda?

Aturannya penting: pembawa acara selalu membuka sebuah pintu, tidak pernah pintu Anda dan tidak pernah pintu mobil, dan ia selalu menawarkan pergantian.

Semua kasus dalam satu tabel

Misalkan Anda selalu memilih pintu 1. Mobil ada di balik pintu 1, 2, atau 3, masing-masing dengan peluang 1/3.

Mobil di balik 1: Monty membuka 2 atau 3. Tetap menang, ganti kalah. Mobil di balik 2: Monty harus membuka 3. Tetap kalah, ganti menang. Mobil di balik 3: Monty harus membuka 2. Tetap kalah, ganti menang.

Tetap menang dalam satu dari tiga kasus yang sama mungkinnya, ganti dalam dua. Tidak ada yang berubah pada pintu 1 ketika Monty membuka sebuah pintu, jadi pintu itu tetap memiliki peluang 1/3, dan 2/3 sisanya berpindah ke satu-satunya pintu yang ia biarkan tertutup.

Teorema Bayes

Misalkan Anda memilih pintu 1 dan Monty membuka pintu 3. Sebelum ia membukanya, setiap pintu menyembunyikan mobil dengan peluang 1/3. Jika mobil ada di balik pintu 1, ia membuka pintu 3 dengan peluang 1/2, karena ia bisa memilih antara 2 dan 3. Jika mobil ada di balik pintu 2, ia pasti membuka pintu 3. Jika mobil ada di balik pintu 3, ia tidak pernah membukanya. Teorema Bayes membobot peluang awal dengan nilai kemungkinan ini:

P(mobil 1 | buka 3) = (1/3 · 1/2) / (1/3 · 1/2 + 1/3 · 1 + 1/3 · 0) = 1/3 P(mobil 2 | buka 3) = (1/3 · 1) / (1/2) = 2/3

Pintu yang dibiarkan tertutup oleh pembawa acara menyembunyikan mobil dua kali lebih sering daripada pintu Anda.

Lebih banyak pintu

Dengan n pintu, Anda memilih satu dan pembawa acara membuka n − 2 pintu berisi kambing, menyisakan satu pintu lain yang tertutup. Tetap menang dengan peluang 1/n dan ganti dengan peluang (n − 1)/n. Dengan 100 pintu, bertahan pada tebakan pertama berarti bertaruh pada peluang 1% melawan pembawa acara yang dengan cermat menghindari satu pintu tertentu di antara 99. Aplikasi ini mendukung hingga 100 pintu.

Ketika pembawa acara tidak tahu

Jika pembawa acara membuka pintu-pintu lainnya secara acak, penalarannya berubah. Dengan tiga pintu, ia memperlihatkan mobil sepertiga dari waktu, dan permainan itu tidak dihitung. Dalam permainan sisanya, tetap dan ganti masing-masing menang separuh waktu: melihat kambing di balik pintu yang dibuka secara acak adalah bukti yang membuat pintu Anda sendiri lebih mungkin menyembunyikan mobil, tepat cukup untuk menjadikannya 50/50. Jawabannya tidak hanya bergantung pada apa yang Anda lihat, tetapi juga pada bagaimana hal itu sampai diperlihatkan.

Kontroversi tahun 1990

Steve Selvin mengajukan teka-teki ini dalam sebuah surat kepada The American Statistician pada 1975 dan menamainya menurut Monty Hall, pembawa acara Let's Make a Deal. Teka-teki ini menjadi terkenal pada September 1990, ketika seorang pembaca mengajukannya kepada Marilyn vos Savant di kolomnya di majalah Parade dan ia menjawab: ganti. Sekitar 10.000 pembaca menulis surat, hampir seribu di antaranya bergelar doktor, dan sebagian besar mengatakan bahwa ia keliru. Ia benar. Paul Erdős menolak memercayai jawabannya sampai seorang rekan menunjukkan simulasi komputer kepadanya, persis seperti yang dilakukan aplikasi ini.

Jelajahi di PictorX

Buka masalah Monty Hall dan tiga pintu sudah menunggu. Klik salah satunya, lihat Monty membuka pintu berisi kambing, lalu tekan "Tetap" atau "Ganti", atau klik pintu Anda atau pintu lain yang masih tertutup. Statistik di bawahnya menghitung setiap permainan, dan grafik menunjukkan tingkat kemenangan saat tetap dan saat ganti seiring bertambahnya permainan, dengan garis putus-putus pada nilai teoretis. "Main otomatis" menjalankan hingga 100.000 permainan dengan kecepatan hingga 2.000 per detik, tetap separuh waktu dan ganti separuh waktu, atau selalu melakukan salah satunya. Pilih 10 atau 100 pintu untuk merasakan mengapa mengganti menang, atau biarkan Monty membuka pintu secara acak dan lihat keunggulannya hilang.