Bài toán Monty Hall

Câu đố

Bạn đang tham gia một gameshow và được chọn một trong ba cánh cửa. Sau một cửa là chiếc xe hơi; sau các cửa còn lại là dê. Bạn chọn một cửa, chẳng hạn cửa số 1. Người dẫn chương trình, người biết sau các cửa có gì, mở một cửa khác, chẳng hạn cửa số 3, có một con dê. Rồi ông hỏi: bạn có muốn đổi sang cửa số 2 không? Đổi cửa có lợi cho bạn không?

Luật chơi rất quan trọng: người dẫn chương trình luôn mở một cửa, không bao giờ là cửa của bạn và không bao giờ là cửa có xe, và ông luôn cho bạn cơ hội đổi.

Mọi trường hợp trong một bảng

Giả sử bạn luôn chọn cửa 1. Xe nằm sau cửa 1, 2 hoặc 3, mỗi cửa với xác suất 1/3.

Xe sau cửa 1: Monty mở cửa 2 hoặc 3. Giữ nguyên thắng, đổi cửa thua. Xe sau cửa 2: Monty buộc phải mở cửa 3. Giữ nguyên thua, đổi cửa thắng. Xe sau cửa 3: Monty buộc phải mở cửa 2. Giữ nguyên thua, đổi cửa thắng.

Giữ nguyên thắng trong một trong ba trường hợp có khả năng như nhau, đổi cửa thắng trong hai. Không có gì thay đổi đối với cửa 1 khi Monty mở một cửa, nên nó vẫn giữ 1/3, và 2/3 còn lại dồn về cánh cửa duy nhất mà ông để đóng.

Định lý Bayes

Giả sử bạn chọn cửa 1 và Monty mở cửa 3. Trước khi ông mở, mỗi cửa giấu xe với xác suất 1/3. Nếu xe ở sau cửa 1, ông mở cửa 3 với xác suất 1/2, vì ông có thể chọn giữa cửa 2 và cửa 3. Nếu xe ở sau cửa 2, ông chắc chắn mở cửa 3. Nếu xe ở sau cửa 3, ông không bao giờ mở cửa đó. Định lý Bayes dùng các khả năng này làm trọng số cho xác suất ban đầu:

P(xe 1 | mở 3) = (1/3 · 1/2) / (1/3 · 1/2 + 1/3 · 1 + 1/3 · 0) = 1/3 P(xe 2 | mở 3) = (1/3 · 1) / (1/2) = 2/3

Cửa mà người dẫn chương trình để đóng giấu xe thường gấp đôi cửa của bạn.

Nhiều cửa hơn

Với n cửa, bạn chọn một và người dẫn chương trình mở n − 2 cửa có dê, chỉ để lại một cửa khác đóng. Giữ nguyên thắng với xác suất 1/n và đổi cửa với xác suất (n − 1)/n. Với 100 cửa, khăng khăng giữ lựa chọn đầu tiên nghĩa là đặt cược vào cơ hội 1% trước một người dẫn chương trình đã cẩn thận tránh một cánh cửa cụ thể trong số 99 cửa. Ứng dụng hỗ trợ tối đa 100 cửa.

Khi người dẫn chương trình không biết

Nếu người dẫn chương trình mở ngẫu nhiên các cửa còn lại, lập luận sẽ thay đổi. Với ba cửa, ông để lộ chiếc xe một phần ba số lần, và những ván đó không tính. Trong các ván còn lại, giữ nguyên và đổi cửa mỗi bên thắng một nửa số lần: thấy một con dê sau một cửa được mở ngẫu nhiên là bằng chứng khiến cửa của chính bạn có khả năng giấu xe cao hơn, vừa đủ để thành 50/50. Đáp án không chỉ phụ thuộc vào những gì bạn thấy, mà còn vào việc nó được cho thấy như thế nào.

Cuộc tranh cãi năm 1990

Steve Selvin đặt ra câu đố trong một lá thư gửi tạp chí The American Statistician năm 1975 và đặt tên nó theo Monty Hall, người dẫn chương trình Let's Make a Deal. Nó trở nên nổi tiếng vào tháng 9 năm 1990, khi một độc giả gửi câu hỏi đến Marilyn vos Savant trong chuyên mục của bà trên tạp chí Parade và bà trả lời: hãy đổi. Khoảng 10.000 độc giả đã viết thư, gần một nghìn người trong số đó có bằng tiến sĩ, phần lớn nói rằng bà sai. Bà đã đúng. Paul Erdős không chịu tin đáp án cho đến khi một đồng nghiệp cho ông xem một mô phỏng máy tính, đúng như những gì ứng dụng này làm.

Khám phá trong PictorX

Mở bài toán Monty Hall và ba cánh cửa đang chờ bạn. Bấm vào một cửa, xem Monty mở một cửa có dê, rồi nhấn "Giữ nguyên" hoặc "Đổi cửa", hoặc bấm vào cửa của bạn hay cửa còn đóng kia. Phần thống kê bên dưới đếm mọi ván, và biểu đồ cho thấy tỉ lệ thắng khi giữ nguyên và khi đổi cửa khi số ván tăng dần, với các đường nét đứt ở giá trị lý thuyết. "Tự động chơi" chạy tới 100.000 ván với tốc độ tới 2.000 ván mỗi giây, giữ nguyên một nửa số lần và đổi cửa một nửa số lần, hoặc luôn làm một trong hai. Chọn 10 hoặc 100 cửa để cảm nhận vì sao đổi cửa thắng, hoặc để Monty mở cửa ngẫu nhiên và xem lợi thế biến mất.