モンティ・ホール問題

パズル

あなたはゲーム番組に出ていて、3つの扉から1つを選べます。1つの扉の向こうには車、ほかの扉の向こうにはヤギがいます。あなたは扉を1つ、たとえば1番を選びます。扉の向こうに何があるかを知っている司会者は、別の扉、たとえば3番を開けます。そこにはヤギがいます。そして司会者は尋ねます。「2番の扉に変えますか？」扉を変えるほうが有利でしょうか？

ルールが大切です。司会者は必ず扉を1つ開けますが、あなたの扉と車の扉は決して開けません。そして必ず変更を持ちかけます。

すべての場合を表にする

いつも1番の扉を選ぶとしましょう。車は1番、2番、3番のいずれかの扉の向こうにあり、それぞれの確率は1/3です。

車が1番：モンティは2番か3番を開けます。変えなければ勝ち、変えると負け。 車が2番：モンティは3番を開けるしかありません。変えなければ負け、変えると勝ち。 車が3番：モンティは2番を開けるしかありません。変えなければ負け、変えると勝ち。

同じ確からしさの3つの場合のうち、変えないで勝つのは1つ、変えて勝つのは2つです。モンティが扉を開けても1番の扉については何も変わらないので、その確率は1/3のままで、残りの2/3は彼が閉じたままにした1枚の扉に移ります。

ベイズの定理

1番の扉を選び、モンティが3番の扉を開けたとします。開ける前は、どの扉の向こうにも車がある確率は1/3です。車が1番にあるなら、モンティは2番と3番から選べるので、3番を開ける確率は1/2です。車が2番にあるなら、必ず3番を開けます。車が3番にあるなら、3番は決して開けません。ベイズの定理は、事前の確率をこれらの尤度で重みづけします。

P(車 1 | 3 を開ける) = (1/3 · 1/2) / (1/3 · 1/2 + 1/3 · 1 + 1/3 · 0) = 1/3 P(車 2 | 3 を開ける) = (1/3 · 1) / (1/2) = 2/3

司会者が閉じたままにした扉の向こうに車がある頻度は、あなたの扉の2倍です。

扉を増やす

扉がn枚なら、あなたが1枚を選び、司会者がヤギのいる扉をn − 2枚開けて、ほかの扉を1枚だけ閉じたまま残します。変えないで勝つ確率は1/n、変えて勝つ確率は(n − 1)/nです。扉が100枚のとき最初の選択にこだわるのは、99枚の中から特定の1枚を注意深く避けた司会者を相手に、1%の確率に賭けることです。このアプリでは扉を100枚まで増やせます。

司会者が知らない場合

司会者が残りの扉をランダムに開けるなら、考え方が変わります。扉が3枚なら、3回に1回は車が見えてしまい、そのゲームは数えません。残りのゲームでは、変えなくても変えても半分の確率で勝ちます。ランダムに開けた扉の向こうにヤギがいたという事実は、あなたの扉の向こうに車がある可能性を高める証拠になり、その高まり方はちょうど五分五分になる分なのです。答えは、何が見えたかだけでなく、それがどのようにして見せられたかにも左右されます。

1990年の論争

スティーブ・セルビンは1975年、『The American Statistician』誌への手紙でこのパズルを出し、『Let's Make a Deal』の司会者モンティ・ホールにちなんで名づけました。有名になったのは1990年9月、ある読者が雑誌『パレード』のマリリン・ボス・サバントのコラムにこの問題を寄せ、彼女が「変えるべき」と答えたときです。約10,000人の読者が手紙を送り、そのうち1,000人近くが博士号を持ち、ほとんどが彼女は間違っていると主張しました。正しかったのは彼女です。ポール・エルデシュは、同僚にコンピューターのシミュレーションを見せられるまで答えを信じようとしませんでした。それこそが、このアプリのしていることです。

PictorX で試す

モンティ・ホール問題を開くと、3つの扉が待っています。1つをクリックし、モンティがヤギのいる扉を開けるのを見たら、「変えない」か「変える」を押すか、自分の扉かもう1つの閉じた扉をクリックします。下の統計はすべてのゲームを数え、グラフはゲームを重ねるにつれた、変えない場合と変えた場合の勝率の変化を、理論値の位置の破線とともに表示します。「自動プレイ」は最大100,000ゲームを毎秒最大2,000ゲームで行い、半分は変えずに半分は変えるか、常にどちらか一方を選びます。扉を10枚や100枚にして変えると勝てる理由を実感したり、モンティにランダムに扉を開けさせて有利さが消えるのを見たりしてみてください。