Monty Hall-problemet

Gåtan

Du är med i ett tävlingsprogram och får välja en av tre dörrar. Bakom en dörr står en bil, bakom de andra getter. Du väljer en dörr, säg nr 1. Programledaren, som vet vad som finns bakom dörrarna, öppnar en annan dörr, säg nr 3, där det står en get. Sedan frågar han: Vill du byta till dörr nr 2? Är det en fördel för dig att byta?

Reglerna spelar roll: programledaren öppnar alltid en dörr, aldrig din och aldrig den med bilen, och han erbjuder alltid bytet.

Alla fall i en tabell

Anta att du alltid väljer dörr 1. Bilen står bakom dörr 1, 2 eller 3, var och en med sannolikheten 1/3.

Bil bakom 1: Monty öppnar 2 eller 3. Att behålla vinner, att byta förlorar. Bil bakom 2: Monty måste öppna 3. Att behålla förlorar, att byta vinner. Bil bakom 3: Monty måste öppna 2. Att behålla förlorar, att byta vinner.

Att behålla vinner i ett av de tre lika sannolika fallen, att byta i två. Ingenting med dörr 1 ändras när Monty öppnar en dörr, så den behåller sin 1/3, och de övriga 2/3 går till den enda dörr han lämnar stängd.

Bayes sats

Säg att du valde dörr 1 och att Monty öppnade dörr 3. Innan han öppnar den döljer varje dörr bilen med sannolikheten 1/3. Står bilen bakom dörr 1 öppnar han dörr 3 med sannolikheten 1/2, eftersom han kan välja mellan 2 och 3. Står den bakom dörr 2 öppnar han säkert dörr 3. Står den bakom dörr 3 öppnar han den aldrig. Bayes sats väger de ursprungliga chanserna med dessa sannolikheter:

P(bil 1 | öppnar 3) = (1/3 · 1/2) / (1/3 · 1/2 + 1/3 · 1 + 1/3 · 0) = 1/3 P(bil 2 | öppnar 3) = (1/3 · 1) / (1/2) = 2/3

Dörren som programledaren lämnar stängd döljer bilen dubbelt så ofta som din.

Fler dörrar

Med n dörrar väljer du en, och programledaren öppnar n − 2 dörrar med getter så att en annan dörr förblir stängd. Att behålla vinner med sannolikheten 1/n och att byta med (n − 1)/n. Med 100 dörrar innebär det att hålla fast vid din första gissning att du satsar på en chans på 1% mot en programledare som noga har undvikit en viss dörr bland 99. Appen går upp till 100 dörrar.

När programledaren inte vet

Om programledaren öppnar de andra dörrarna slumpmässigt ändras resonemanget. Med tre dörrar avslöjar han bilen en tredjedel av gångerna, och de spelen räknas inte. I de återstående spelen vinner att behålla och att byta hälften av gångerna var: att se en get bakom en slumpmässigt öppnad dörr är ett tecken som gör det mer sannolikt att din egen dörr döljer bilen, precis så mycket att det blir 50/50. Svaret beror inte bara på vad du ser, utan också på hur det kom sig att det visades.

Kontroversen 1990

Steve Selvin lade fram gåtan i ett brev till The American Statistician 1975 och uppkallade den efter Monty Hall, programledare för Let's Make a Deal. Den blev berömd i september 1990, när en läsare ställde den till Marilyn vos Savant i hennes kolumn i tidningen Parade och hon svarade: byt. Omkring 10 000 läsare skrev in, nästan tusen av dem med doktorsexamen, och de flesta sa att hon hade fel. Hon hade rätt. Paul Erdős vägrade tro på svaret tills en kollega visade honom en datorsimulering, och det är precis vad den här appen gör.

Utforska det i PictorX

Öppna Monty Hall-problemet så väntar tre dörrar. Klicka på en, se Monty öppna en dörr med en get, och tryck sedan på ”Behåll” eller ”Byt”, eller klicka på din dörr eller den andra stängda. Statistiken nedanför räknar varje spel, och diagrammet visar vinstandelarna för att behålla och byta allteftersom spelen blir fler, med streckade linjer vid teorins värden. ”Spela automatiskt” kör upp till 100 000 spel med upp till 2 000 per sekund och behåller hälften av gångerna och byter resten, eller gör alltid det ena av de två. Välj 10 eller 100 dörrar för att känna varför det lönar sig att byta, eller låt Monty öppna dörrar slumpmässigt och se fördelen försvinna.