Het Monty Hall-probleem

De puzzel

Je doet mee aan een spelshow en mag een van drie deuren kiezen. Achter één deur staat een auto, achter de andere geiten. Je kiest een deur, zeg nr. 1. De presentator, die weet wat er achter de deuren zit, opent een andere deur, zeg nr. 3, met een geit erachter. Dan vraagt hij: wil je wisselen naar deur nr. 2? Is het in je voordeel om te wisselen?

De regels doen ertoe: de presentator opent altijd een deur, nooit jouw deur en nooit de auto, en hij biedt altijd de wissel aan.

Alle gevallen in een tabel

Stel dat je altijd deur 1 kiest. De auto staat achter deur 1, 2 of 3, elk met kans 1/3.

Auto achter 1: Monty opent 2 of 3. Blijven wint, wisselen verliest. Auto achter 2: Monty moet 3 openen. Blijven verliest, wisselen wint. Auto achter 3: Monty moet 2 openen. Blijven verliest, wisselen wint.

Blijven wint in een van de drie even waarschijnlijke gevallen, wisselen in twee. Aan deur 1 verandert niets als Monty een deur opent, dus die houdt haar 1/3, en de andere 2/3 gaat naar de ene deur die hij dicht laat.

De stelling van Bayes

Stel dat je deur 1 koos en Monty deur 3 opende. Voordat hij hem opent, verbergt elke deur de auto met kans 1/3. Staat de auto achter deur 1, dan opent hij deur 3 met kans 1/2, omdat hij kan kiezen tussen 2 en 3. Staat hij achter deur 2, dan opent hij zeker deur 3. Staat hij achter deur 3, dan opent hij die nooit. De stelling van Bayes weegt de kansen vooraf met deze aannemelijkheden:

P(auto 1 | opent 3) = (1/3 · 1/2) / (1/3 · 1/2 + 1/3 · 1 + 1/3 · 0) = 1/3 P(auto 2 | opent 3) = (1/3 · 1) / (1/2) = 2/3

De deur die de presentator dicht laat, verbergt de auto twee keer zo vaak als die van jou.

Meer deuren

Met n deuren kies je er een en opent de presentator n − 2 deuren met geiten, zodat er één andere deur dicht blijft. Blijven wint met kans 1/n en wisselen met kans (n − 1)/n. Met 100 deuren betekent vasthouden aan je eerste gok dat je inzet op een kans van 1%, tegen een presentator die zorgvuldig één bepaalde deur van de 99 heeft overgeslagen. De app gaat tot 100 deuren.

Als de presentator het niet weet

Als de presentator de andere deuren willekeurig opent, verandert de redenering. Met drie deuren onthult hij een derde van de keren de auto, en die spellen tellen niet mee. In de overige spellen winnen blijven en wisselen elk de helft van de keren: een geit zien achter een willekeurig geopende deur is een aanwijzing die het waarschijnlijker maakt dat je eigen deur de auto verbergt, precies genoeg om er 50/50 van te maken. Het antwoord hangt niet alleen af van wat je ziet, maar ook van hoe je het te zien kreeg.

De ophef van 1990

Steve Selvin legde de puzzel in 1975 voor in een brief aan The American Statistician en noemde hem naar Monty Hall, presentator van Let's Make a Deal. Hij werd beroemd in september 1990, toen een lezer hem voorlegde aan Marilyn vos Savant in haar rubriek in het tijdschrift Parade en zij antwoordde: wisselen. Zo’n 10.000 lezers schreven haar, bijna duizend van hen gepromoveerd, en de meesten zeiden dat ze ongelijk had. Ze had gelijk. Paul Erdős weigerde het antwoord te geloven tot een collega hem een computersimulatie liet zien, en dat is precies wat deze app doet.

Ontdek het in PictorX

Open het Monty Hall-probleem en er wachten drie deuren. Klik op een ervan, zie Monty een deur met een geit openen en druk dan op ‘Blijven’ of ‘Wisselen’, of klik op je eigen deur of op de andere dichte deur. De statistieken eronder tellen elk spel, en de grafiek toont de winstpercentages van blijven en wisselen naarmate de spellen zich opstapelen, met stippellijnen bij de waarden uit de theorie. ‘Automatisch spelen’ speelt tot 100.000 spellen, tot 2.000 per seconde, en blijft de helft van de keren en wisselt de andere helft, of doet altijd een van de twee. Kies 10 of 100 deuren om te voelen waarom wisselen wint, of laat Monty willekeurig deuren openen en zie het voordeel verdwijnen.