Die Monte-Carlo-Methode und π

Flächen als Wahrscheinlichkeiten

Wählen Sie zufällig einen Punkt in einem Quadrat, wobei jede Stelle gleich wahrscheinlich ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass er in einem bestimmten Gebiet landet, ist die Fläche dieses Gebiets geteilt durch die Fläche des Quadrats. Ein Kreis mit Radius 1 hat die Fläche π, das Quadrat um ihn herum hat die Seitenlänge 2 und die Fläche 4. Ein zufälliger Punkt landet also mit der Wahrscheinlichkeit P = π/4 ≈ 0,785 im Kreis.

Von Treffern zu π

Werfen Sie N Pfeile und zählen Sie die Treffer H im Kreis. Der Anteil H/N schätzt π/4, also gilt

π ≈ 4H / N

Der Test auf einen Treffer braucht überhaupt kein π: Ein Punkt (x, y), vom Mittelpunkt aus gemessen und mit dem Radius als Einheit, liegt im Kreis, wenn x² + y² ≤ 1 ist. Das π entsteht erst beim Zählen.

Bei der Viertelkreis-Variante liegt der Mittelpunkt in einer Ecke eines Quadrats mit Seitenlänge 1. Auch der Viertelkreis bedeckt π/4 dieses Quadrats, also gilt dieselbe Formel.

Das Gesetz der großen Zahlen

Jeder Pfeil ist ein kleines Experiment mit zwei Ausgängen: ein Treffer mit der Wahrscheinlichkeit p = π/4 oder ein Fehlwurf. Das Gesetz der großen Zahlen, bewiesen von Jacob Bernoulli und 1713 veröffentlicht, besagt, dass der Anteil der Treffer p beliebig nahe kommt, wenn N wächst. Es besagt nicht, dass sich Treffer und Fehlwürfe kurzfristig ausgleichen: Die Schätzung kann sich lange von π entfernen, bevor sie zurückkehrt.

Wie schnell geht es?

Die Zahl der Treffer folgt einer Binomialverteilung. Ihre Standardabweichung, umgerechnet auf die Skala von π, ergibt den typischen Fehler

σ ≈ 4 · √(p(1 − p) / N) ≈ 1.64 / √N

Nach 100 Pfeilen sind das etwa 0,16, nach 10.000 etwa 0,016, nach einer Million etwa 0,0016. Der Fehler schrumpft mit der Quadratwurzel von N: Hundertmal so viele Pfeile bringen eine richtige Ziffer mehr. In der App reicht das schattierte Band über ±1,96σ und enthält 95 % aller Durchläufe, und das ± hinter der Schätzung ist ein Standardfehler.

Woher der Name kommt

1946 erholte sich Stanislaw Ulam von einer Krankheit und fragte sich, wie wahrscheinlich es ist, eine Patience zu gewinnen. Statt alle möglichen Kartenverteilungen durchzuzählen, kam er auf die Idee, einfach viele Partien zu spielen und die Gewinne zu zählen. Mit John von Neumann machte er daraus eine Methode für die Neutronenberechnungen in Los Alamos, und ihr Kollege Nicholas Metropolis benannte sie nach dem Casino von Monte Carlo, in dem Ulams Onkel gern spielte. Viel ältere Zufallsexperimente wie Buffons Nadel von 1777 schätzten π bereits im selben Geist.

In PictorX erkunden

Öffnen Sie Monte-Carlo-π, und die Pfeile fliegen bereits, tausend pro Sekunde. Der Zähler färbt die Ziffern, die schon mit π übereinstimmen, und das Diagramm zeigt die Schätzung auf einer logarithmischen Achse innerhalb des Bandes, in dem 95 % der Durchläufe landen. „Zeitlupe“ wirft einen Pfeil pro Sekunde und zeichnet seinen Abstand zum Mittelpunkt ein; klicken Sie auf das Quadrat, um selbst einen Pfeil zu werfen. „Eine Million Pfeile“ wirft alle auf einmal. „Viertelkreis“ wechselt zur Variante mit der Ecke, und „Alte Pfeile verblassen lassen“ hält das Bild bei hohem Tempo lebendig. Speichern Sie ein PNG oder vergleichen Sie mit Buffons Nadel, die π mit fallenden Nadeln schätzt.