Estrarre biglie da un vaso | Il modello dell’urna e i diagrammi ad albero

Il modello dell’urna

In probabilità un vaso, o urna, contiene un numero noto di biglie di colori diversi. Se ne estraggono una o più senza guardare, così ogni biglia ancora nel vaso ha la stessa probabilità di essere estratta. Jakob Bernoulli usò questo modello intorno al 1700, e da allora è l’esempio per eccellenza: estrarre i numeri del lotto, distribuire le carte, scegliere le persone per un sondaggio e controllare una partita di prodotti alla ricerca di difetti funzionano tutti come estrarre biglie da un vaso.

Senza reimmissione, passo dopo passo

Prendi un vaso con 5 biglie rosse e 4 blu, 9 in tutto, ed estraine due senza rimetterle dentro. La prima biglia è rossa con probabilità 5/9. Se era rossa, restano 8 biglie, di cui 4 rosse, quindi la seconda è rossa con probabilità 4/8 = 1/2. La probabilità che siano rosse entrambe è 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18 ≈ 27,8%.

Il diagramma ad albero

Un diagramma ad albero disegna tutti i modi in cui possono andare le estrazioni. Dalla radice partono un ramo verso il rosso e uno verso il blu, ciascuno con la sua probabilità: 5/9 e 4/9. Da ognuno di essi partono due nuovi rami verso la seconda biglia, con le probabilità valide dopo la prima: 4/8 e 4/8 dopo una rossa, 5/8 e 3/8 dopo una blu. Ogni percorso termina in una foglia. Moltiplica le probabilità lungo un percorso per ottenere la sua probabilità: 20/72, 20/72, 20/72 e 12/72. Insieme le foglie fanno 72/72 = 1.

Sommare i percorsi e l’evento contrario

Quando a una domanda rispondono più foglie, somma le loro probabilità. Esattamente una rossa: rosso-blu o blu-rosso, 20/72 + 20/72 = 40/72 = 5/9. Entrambe dello stesso colore: 20/72 + 12/72 = 32/72 = 4/9. Almeno una rossa è tutto tranne blu-blu: 1 − 12/72 = 60/72 = 5/6. Sottrarre il contrario, cioè usare la regola dell’evento contrario, è spesso la strada più veloce.

Con reimmissione

Se rimetti ogni biglia nel vaso prima dell’estrazione successiva, il vaso è sempre lo stesso e le estrazioni sono indipendenti. Due rosse hanno allora probabilità 5/9 × 5/9 = 25/81 ≈ 30,9%. Senza reimmissione la probabilità è minore, perché togliere una biglia rossa lascia meno rosse. In un vaso grande la differenza quasi scompare, ed è per questo che un sondaggio su 1.000 persone in un paese di milioni di abitanti può trattare ogni risposta come indipendente.

Contare con le combinazioni

Invece di disegnare un albero puoi anche contare. Ci sono C(9, 2) = 36 coppie di biglie equiprobabili, e C(5, 2) = 10 di queste sono formate da due rosse: 10/36 = 5/18, la stessa risposta. Con più estrazioni contare è più veloce di un albero: la probabilità di esattamente k biglie rosse in n estrazioni senza reimmissione è C(rosse, k) × C(blu, n − k) / C(totale, n), la distribuzione ipergeometrica.

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Apri Biglie da un vaso e ti aspetta un vaso con 5 biglie rosse e 4 blu. Fai clic sul vaso per estrarre una biglia: esce dal vaso e si posa in una ciotola, le biglie rimaste si assestano e il messaggio ti dice che cosa resta e qual è ora la probabilità di estrarre una rossa. Il diagramma ad albero illumina il ramo che hai percorso e mostra il prodotto su ogni foglia; le foglie che rispondono alla domanda sono ombreggiate, e il loro calcolo compare sotto l’albero. Scegli da 1 a 10 biglie per colore, due o tre estrazioni, con o senza reimmissione, e una di cinque domande. «Estrai automaticamente» esegue fino a 100.000 prove a un ritmo fino a 10.000 al secondo, e il grafico mostra la percentuale di «sì» che si assesta sulla probabilità calcolata con l’albero.

Domande frequenti

Che cosa significa senza reimmissione?

Che una biglia estratta non viene rimessa nel vaso prima dell’estrazione successiva. A ogni estrazione il vaso ha una biglia in meno, e le probabilità cambiano.

Qual è la probabilità di due biglie rosse da 5 rosse e 4 blu?

5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18, circa il 27,8%, senza reimmissione. Con reimmissione è 5/9 × 5/9 = 25/81, circa il 30,9%.

Perché le foglie di un diagramma ad albero danno 1 in totale?

Perché ogni prova finisce in esattamente una foglia. I rami che escono da ogni nodo sommano a 1, per esempio 4/8 + 4/8, quindi moltiplicare lungo i percorsi distribuisce l’intera probabilità 1 tra le foglie.

Estrarre due biglie insieme è come estrarle una dopo l’altra?

Sì. Prendere due biglie in una volta dà le stesse probabilità che estrarle una dopo l’altra senza reimmissione; semplicemente non sai quale è uscita per prima.

A che cosa serve il modello dell’urna?

A qualsiasi situazione in cui degli elementi vengono scelti a caso da un gruppo fisso: lotterie, giochi di carte, controllo qualità, sondaggi e genetica. La distribuzione ipergeometrica che ne deriva è anche alla base del test esatto di Fisher in statistica.