À propos du tirage de billes dans un vase | Modèle de l’urne et arbres pondérés

Le modèle de l’urne

En probabilités, un vase, ou une urne, contient un nombre connu de billes de différentes couleurs. On en tire une ou plusieurs sans regarder, si bien que chaque bille encore dans le vase a la même chance d’être tirée. Jacques Bernoulli a utilisé ce modèle vers 1700, et il est depuis l’exemple de référence : tirer les boules du loto, distribuer des cartes, choisir des personnes pour un sondage ou contrôler les défauts d’un lot de produits, tout cela fonctionne comme un tirage de billes dans un vase.

Sans remise, étape par étape

Prenez un vase de 5 billes rouges et 4 bleues, 9 au total, et tirez-en deux sans les remettre. La première bille est rouge avec une probabilité de 5/9. Si elle était rouge, il reste 8 billes, dont 4 rouges, donc la deuxième est rouge avec une probabilité de 4/8 = 1/2. La probabilité que les deux soient rouges est 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18 ≈ 27,8 %.

L’arbre pondéré

Un arbre pondéré représente toutes les issues possibles des tirages. Depuis la racine, une branche mène à rouge et une à bleu, chacune portant sa probabilité : 5/9 et 4/9. De chacune partent deux nouvelles branches vers la deuxième bille, avec les probabilités valables après la première : 4/8 et 4/8 après rouge, 5/8 et 3/8 après bleu. Chaque chemin se termine par une feuille. Multipliez les probabilités le long d’un chemin pour obtenir sa probabilité : 20/72, 20/72, 20/72 et 12/72. Ensemble, les feuilles font 72/72 = 1.

Additionner les chemins et l’événement contraire

Quand plusieurs feuilles répondent à une question, additionnez leurs probabilités. Exactement une rouge : rouge-bleu ou bleu-rouge, 20/72 + 20/72 = 40/72 = 5/9. Deux de la même couleur : 20/72 + 12/72 = 32/72 = 4/9. Au moins une rouge, c’est tout sauf bleu-bleu : 1 − 12/72 = 60/72 = 5/6. Retrancher le contraire, c’est-à-dire passer par l’événement contraire, est souvent le plus rapide.

Avec remise

Si vous remettez chaque bille avant le tirage suivant, le vase est le même à chaque fois et les tirages sont indépendants. Deux rouges ont alors une probabilité de 5/9 × 5/9 = 25/81 ≈ 30,9 %. Sans remise, la probabilité est plus faible, car retirer une bille rouge laisse moins de rouges. Dans un grand vase, la différence disparaît presque, et c’est pourquoi un sondage auprès de 1 000 personnes dans un pays de plusieurs millions d’habitants peut traiter chaque réponse comme indépendante.

Dénombrer avec les combinaisons

Vous pouvez aussi dénombrer au lieu de dessiner un arbre. Il y a C(9, 2) = 36 paires de billes équiprobables, et C(5, 2) = 10 d’entre elles sont formées de deux rouges : 10/36 = 5/18, la même réponse. Avec plus de tirages, dénombrer va plus vite qu’un arbre : la probabilité d’obtenir exactement k billes rouges en n tirages sans remise est C(rouges, k) × C(bleues, n − k) / C(total, n), c’est la loi hypergéométrique.

L’explorer dans PictorX

Ouvrez Billes dans un vase : un vase avec 5 billes rouges et 4 bleues vous attend. Cliquez dessus pour tirer une bille : elle sort du vase et se pose dans une coupelle, les billes restantes se tassent, et le message vous indique ce qui reste et quelle est maintenant la probabilité de tirer une rouge. L’arbre pondéré éclaire la branche que vous avez suivie et affiche le produit à chaque feuille ; les feuilles qui répondent à la question sont ombrées, et leur calcul figure sous l’arbre. Choisissez de 1 à 10 billes de chaque couleur, deux ou trois tirages, avec ou sans remise, et l’une des cinq questions. « Tirer automatiquement » lance jusqu’à 100 000 essais, jusqu’à 10 000 par seconde, et le graphique montre la proportion de « oui » se stabiliser à la probabilité donnée par l’arbre.

Questions fréquemment posées

Que signifie sans remise ?

Qu’une bille tirée n’est pas remise dans le vase avant le tirage suivant. Le vase compte une bille de moins à chaque tirage, et les probabilités changent.

Quelle est la probabilité de tirer deux billes rouges parmi 5 rouges et 4 bleues ?

5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18, environ 27,8 %, sans remise. Avec remise, c’est 5/9 × 5/9 = 25/81, environ 30,9 %.

Pourquoi les feuilles d’un arbre pondéré totalisent-elles 1 ?

Parce que chaque essai se termine dans exactement une feuille. Les branches qui partent d’un même nœud totalisent 1, par exemple 4/8 + 4/8, donc multiplier le long des chemins répartit la probabilité totale de 1 entre les feuilles.

Tirer deux billes d’un coup, est-ce la même chose que l’une après l’autre ?

Oui. Prendre deux billes d’un coup donne les mêmes probabilités que les tirer l’une après l’autre sans remise ; vous ne savez simplement pas laquelle est venue en premier.

À quoi sert le modèle de l’urne ?

À toute situation où des éléments sont choisis au hasard dans un groupe fixe : loteries, jeux de cartes, contrôle qualité, sondages et génétique. La loi hypergéométrique qui en découle est aussi à la base du test exact de Fisher en statistique.