Om trækning af kugler fra en vase | Urnemodellen og trædiagrammer

Urnemodellen

I sandsynlighedsregning indeholder en vase, eller urne, et kendt antal kugler i forskellige farver. Man trækker én eller flere uden at kigge, så hver kugle, der stadig er i vasen, har samme chance for at blive trukket. Jacob Bernoulli brugte modellen omkring 1700, og siden har den været standardeksemplet: At trække lottokugler, give kort, udvælge personer til en spørgeundersøgelse og kontrollere et parti varer for fejl fungerer alt sammen som at trække kugler fra en vase.

Uden tilbagelægning, trin for trin

Tag en vase med 5 røde og 4 blå kugler, 9 i alt, og træk to uden at lægge dem tilbage. Den første kugle er rød med sandsynligheden 5/9. Hvis den var rød, er der 8 kugler tilbage, heraf 4 røde, så den anden er rød med sandsynligheden 4/8 = 1/2. Sandsynligheden for, at begge er røde, er 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18 ≈ 27,8 %.

Trædiagrammet

Et trædiagram tegner alle måder, trækningerne kan gå på. Fra starten fører én gren til rød og én til blå, hver mærket med sin sandsynlighed: 5/9 og 4/9. Fra hver af dem fører to nye grene videre til den anden kugle med de sandsynligheder, der gælder efter den første: 4/8 og 4/8 efter rød, 5/8 og 3/8 efter blå. Hver vej ender i et blad. Gang sandsynlighederne langs en vej for at få dens sandsynlighed: 20/72, 20/72, 20/72 og 12/72. Tilsammen giver bladene 72/72 = 1.

Læg veje sammen, og brug komplementet

Når et spørgsmål besvares af flere blade, lægger man deres sandsynligheder sammen. Præcis én rød: rød-blå eller blå-rød, 20/72 + 20/72 = 40/72 = 5/9. Begge samme farve: 20/72 + 12/72 = 32/72 = 4/9. Mindst én rød er alt undtagen blå-blå: 1 − 12/72 = 60/72 = 5/6. At trække det modsatte fra, komplementærreglen, er ofte den hurtigste vej.

Med tilbagelægning

Hvis du lægger hver kugle tilbage før næste trækning, er vasen den samme hver gang, og trækningerne er uafhængige. To røde har så sandsynligheden 5/9 × 5/9 = 25/81 ≈ 30,9 %. Uden tilbagelægning er sandsynligheden mindre, fordi der er færre røde tilbage, når man har taget en rød kugle op. I en stor vase forsvinder forskellen næsten, og derfor kan en spørgeundersøgelse blandt 1.000 personer i et land med millioner af indbyggere behandle hvert svar som uafhængigt.

Optælling med kombinationer

Man kan også tælle i stedet for at tegne et træ. Der er C(9, 2) = 36 lige sandsynlige par af kugler, og C(5, 2) = 10 af dem er to røde: 10/36 = 5/18, det samme svar. Med flere trækninger er optælling hurtigere end et træ: Sandsynligheden for præcis k røde kugler i n trækninger uden tilbagelægning er C(røde, k) × C(blå, n − k) / C(i alt, n), den hypergeometriske fordeling.

Udforsk det i PictorX

Åbn Kugler fra en vase, så venter en vase med 5 røde og 4 blå kugler. Klik på den for at trække en kugle: Den løftes op af vasen og over i en skål, de resterende kugler falder på plads, og beskeden fortæller, hvad der er tilbage, og hvad sandsynligheden for rød er nu. Trædiagrammet lyser den gren op, du tog, og viser produktet ved hvert blad; de blade, der passer til spørgsmålet, er skraverede, og deres udregning står under træet. Vælg 1 til 10 kugler af hver farve, to eller tre trækninger, med eller uden tilbagelægning og et af fem spørgsmål. Træk automatisk kører op til 100.000 runder med op til 10.000 i sekundet, og diagrammet viser andelen af ja falde til ro ved sandsynligheden fra træet.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad betyder uden tilbagelægning?

At en kugle, du har trukket, ikke lægges tilbage før næste trækning. Vasen bliver én kugle mindre for hver trækning, og sandsynlighederne ændrer sig.

Hvad er sandsynligheden for to røde kugler fra 5 røde og 4 blå?

5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18, cirka 27,8 %, uden tilbagelægning. Med tilbagelægning er den 5/9 × 5/9 = 25/81, cirka 30,9 %.

Hvorfor giver bladene i et trædiagram tilsammen 1?

Fordi hver runde ender i præcis ét blad. Grenene fra hvert knudepunkt giver tilsammen 1, for eksempel 4/8 + 4/8, så når man ganger langs vejene, fordeles hele sandsynligheden på 1 ud på bladene.

Er det det samme at trække to kugler på én gang som én ad gangen?

Ja. At gribe to kugler på én gang giver de samme sandsynligheder som at trække dem én ad gangen uden tilbagelægning; man ved bare ikke, hvilken der kom først.

Hvad bruges urnemodellen til?

Til enhver situation, hvor emner udvælges tilfældigt fra en fast gruppe: lotterier, kortspil, kvalitetskontrol, spørgeundersøgelser og genetik. Den hypergeometriske fordeling, der følger af den, er også grundlaget for Fishers eksakte test i statistik.