Vazodan bilye çekme ve olasılık
Renkli bilyelerle dolu bir vazo, okul matematiğinde olasılığın klasik modelidir. Çekme, seçme ya da örneklem alma üzerine her soruyu, sayarak çözebileceğiniz bir resme dönüştürür.
Torba modeli
Olasılıkta bir vazo, torba ya da kavanoz, farklı renklerde bilinen sayıda bilye içerir. Bakmadan bir ya da daha fazla bilye çekersiniz; böylece vazoda hâlâ duran her bilyenin çekilme şansı aynıdır. Jacob Bernoulli bu modeli 1700 civarında kullandı ve o zamandan beri standart örnek oldu: piyango toplarını çekmek, iskambil kâğıdı dağıtmak, bir anket için kişi seçmek ve bir ürün partisini kusurlara karşı kontrol etmek, hepsi vazodan bilye çekmek gibi işler.
Adım adım geri koymadan çekme
5 kırmızı ve 4 mavi, toplam 9 bilye bulunan bir vazo alın ve geri koymadan iki bilye çekin. İlk bilye 5/9 olasılıkla kırmızıdır. Kırmızıysa geriye 4’ü kırmızı olmak üzere 8 bilye kalır; bu yüzden ikincisi 4/8 = 1/2 olasılıkla kırmızıdır. İkisinin de kırmızı olma olasılığı 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18 ≈ %27,8’dir.
Ağaç diyagramı
Ağaç diyagramı, çekilişlerin gidebileceği tüm yolları çizer. Başlangıçtan bir dal kırmızıya, bir dal maviye gider ve her biri kendi olasılığıyla etiketlenir: 5/9 ve 4/9. Bunların her birinden ikinci bilyeye giden iki yeni dal çıkar; bu dallarda ilk çekilişten sonra geçerli olan olasılıklar yazar: kırmızıdan sonra 4/8 ve 4/8, maviden sonra 5/8 ve 3/8. Her yol bir yaprakta biter. Bir yolun olasılığını bulmak için o yol boyunca olasılıkları çarpın: 20/72, 20/72, 20/72 ve 12/72. Yaprakların toplamı 72/72 = 1 eder.
Yolları toplama ve tümleyen
Bir soruyu birkaç yaprak yanıtlıyorsa, bu yaprakların olasılıklarını toplayın. Tam olarak bir kırmızı: kırmızı-mavi ya da mavi-kırmızı, 20/72 + 20/72 = 40/72 = 5/9. İkisi de aynı renk: 20/72 + 12/72 = 32/72 = 4/9. En az bir kırmızı, mavi-mavi dışındaki her şeydir: 1 − 12/72 = 60/72 = 5/6. Karşıt durumu çıkarmak, yani tümleyen kuralı, çoğu zaman en hızlı yoldur.
Geri koyarak çekme
Her bilyeyi bir sonraki çekilişten önce geri koyarsanız vazo her seferinde aynıdır ve çekilişler bağımsızdır. İkisinin de kırmızı olma olasılığı o zaman 5/9 × 5/9 = 25/81 ≈ %30,9 olur. Geri koymadan çekmede olasılık daha küçüktür, çünkü kırmızı bir bilye çıkarınca geriye daha az kırmızı kalır. Büyük bir vazoda fark neredeyse kaybolur; bu yüzden milyonlarca kişilik bir ülkeden 1.000 kişiyle yapılan bir anket, her yanıtı bağımsız sayabilir.
Kombinasyonlarla sayma
Ağaç çizmek yerine saymak da mümkündür. Eşit olasılıklı C(9, 2) = 36 bilye çifti vardır ve bunların C(5, 2) = 10 tanesi iki kırmızıdır: 10/36 = 5/18, aynı sonuç. Çekiliş sayısı arttıkça saymak ağaçtan daha hızlıdır: geri koymadan yapılan n çekilişte tam olarak k kırmızı bilye gelme olasılığı C(kırmızı, k) × C(mavi, n − k) / C(toplam, n) olur; bu, hipergeometrik dağılımdır.
PictorX’te keşfedin
Vazodan bilye çekme uygulamasını açın; sizi 5 kırmızı ve 4 mavi bilyeli bir vazo bekliyor. Bir bilye çekmek için vazoya tıklayın: bilye vazodan kalkıp bir kaseye geçer, kalan bilyeler yerine oturur ve mesaj size neyin kaldığını ve kırmızı gelme olasılığının şimdi ne olduğunu söyler. Ağaç diyagramı izlediğiniz dalı yakar ve her yaprakta çarpımı gösterir; soruyu yanıtlayan yapraklar gölgelidir ve hesapları ağacın altında yer alır. Her renkten 1 ile 10 arasında bilye, iki ya da üç çekiliş, geri koyarak ya da koymadan çekme ve beş sorudan birini seçin. Otomatik çek, saniyede 10.000’e kadar hızla 100.000 tura kadar çeker ve grafik, evet oranının ağaçtaki olasılığa yerleşmesini gösterir.
Sık sorulan sorular
Geri koymadan çekme ne demektir?
Çekilen bir bilyenin bir sonraki çekilişten önce vazoya geri konmaması demektir. Vazo her çekilişte bir bilye küçülür ve olasılıklar değişir.
5 kırmızı ve 4 mavi bilyeden iki kırmızı gelme olasılığı nedir?
Geri koymadan 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18, yani yaklaşık %27,8. Geri koyarak 5/9 × 5/9 = 25/81, yani yaklaşık %30,9.
Bir ağaç diyagramının yaprakları neden toplamda 1 eder?
Çünkü her tur tam olarak bir yaprakta biter. Her düğümden çıkan dalların toplamı 1’dir, örneğin 4/8 + 4/8; bu yüzden yollar boyunca çarpmak, 1’lik olasılığın tamamını yapraklara paylaştırır.
İki bilyeyi aynı anda çekmek, art arda çekmekle aynı mıdır?
Evet. İki bilyeyi aynı anda avuçlamak, onları geri koymadan art arda çekmekle aynı olasılıkları verir; yalnızca hangisinin önce geldiğini bilmezsiniz.
Torba modeli ne için kullanılır?
Sabit bir gruptan rastgele öğe seçilen her durum için: piyangolar, kâğıt oyunları, kalite kontrol, anketler ve genetik. Bundan çıkan hipergeometrik dağılım, istatistikte Fisher’ın kesin testinin de temelidir.
İlgili araçlar
Vazodan bilye çekme
Bakmadan ve geri koymadan bir vazodan bilye çekin. Her çekilişi bir ağaç diyagramında izleyin: iki kırmızı bilye için 5/9 × 4/8 = 5/18. Ardından bilgisayara 1.000 tur çektirin.
Zar atma
Bir, iki ya da üç zarı bin kez atın ve her sonucun ne sıklıkla geldiğini gösteren çubuk grafiği beklenen sıklıklarla karşılaştırın. 7’nin neden en sık gelen toplam olduğunu görün.
Zar olasılığı
Zar olasılığı açıklanıyor: her yüzün neden 1/6 şansı olduğu, bir toplamı atmanın yollarının nasıl sayıldığı, beklenen ve gözlenen sıklıklar, çok sayıda zarın çan eğrisi ve hilesiz bir zar için ki-kare testi.
Monty Hall problemi
Monty Hall problemini deneyin: üç kapıdan birini seçin, Monty’nin arkasında keçi olan bir kapıyı açmasını izleyin, sonra kalın ya da değiştirin. Kendiniz oynayın ya da bilgisayara 1.000 oyun oynatın ve değiştirmenin üç oyunun ikisinde kazandığını görün.
Monty Hall problemi
Monty Hall problemi açıklandı: değiştirmek neden oyunların 2/3’ünde kazanır, tüm durumların tablosu, Bayes teoremi, çok kapılı sürüm, bilmeyen sunucu ve 1990 tartışması.
Galton tahtası
Topları çivi sıralarının arasından bırakın ve bölmelerin çan eğrisi biçiminde dolmasını izleyin. Sıra sayısını, eğilimi ve top sayısını değiştirin; ortalamayı ve yayılımı teoriyle karşılaştırın.
Bunu denemeye hazır mısın?
Pencere PictorX tarayıcınızda - yükleme yok, başlamak için gerekli kredi kartı yok.
Vazodan bilye çekin