Losowanie kulek z wazonu
Wazon z kolorowymi kulkami to klasyczny model losowości w szkolnej matematyce. Każde pytanie o losowanie, wybieranie czy pobieranie próby zamienia w obrazek, na którym można policzyć szanse.
Model urnowy
W rachunku prawdopodobieństwa wazon, czyli urna, zawiera znaną liczbę kul w różnych kolorach. Losuje się jedną lub kilka bez patrzenia, więc każda kula, która jest jeszcze w wazonie, ma taką samą szansę na wylosowanie. Jakub Bernoulli posługiwał się tym modelem około 1700 roku i od tamtej pory jest on standardowym przykładem: losowanie kul w loterii, rozdawanie kart, dobór osób do ankiety i sprawdzanie partii produktów pod kątem wad działają tak samo jak losowanie kulek z wazonu.
Bez zwracania, krok po kroku
Weź wazon z 5 czerwonymi i 4 niebieskimi kulkami, razem 9, i wylosuj dwie bez zwracania. Pierwsza kulka jest czerwona z prawdopodobieństwem 5/9. Jeśli była czerwona, zostaje 8 kulek, w tym 4 czerwone, więc druga jest czerwona z prawdopodobieństwem 4/8 = 1/2. Prawdopodobieństwo, że obie są czerwone, wynosi 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18 ≈ 27,8%.
Drzewo stochastyczne
Drzewo stochastyczne pokazuje wszystkie możliwe przebiegi losowania. Od początku jedna gałąź prowadzi do czerwonej, a druga do niebieskiej, każda opisana swoim prawdopodobieństwem: 5/9 i 4/9. Z każdej z nich wychodzą dwie nowe gałęzie do drugiej kulki, z prawdopodobieństwami obowiązującymi po pierwszym losowaniu: 4/8 i 4/8 po czerwonej, 5/8 i 3/8 po niebieskiej. Każda ścieżka kończy się liściem. Pomnóż prawdopodobieństwa wzdłuż ścieżki, a otrzymasz jej prawdopodobieństwo: 20/72, 20/72, 20/72 i 12/72. Razem liście dają 72/72 = 1.
Dodawanie ścieżek i zdarzenie przeciwne
Gdy na pytanie odpowiada kilka liści, dodaj ich prawdopodobieństwa. Dokładnie jedna czerwona: czerwona-niebieska lub niebieska-czerwona, 20/72 + 20/72 = 40/72 = 5/9. Obie w tym samym kolorze: 20/72 + 12/72 = 32/72 = 4/9. Co najmniej jedna czerwona to wszystko oprócz ścieżki niebieska-niebieska: 1 − 12/72 = 60/72 = 5/6. Odjęcie od 1 prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego to często najszybsza droga.
Ze zwracaniem
Jeśli przed kolejnym losowaniem odkładasz każdą kulkę z powrotem, wazon jest za każdym razem taki sam, a losowania są niezależne. Dwie czerwone mają wtedy prawdopodobieństwo 5/9 × 5/9 = 25/81 ≈ 30,9%. Bez zwracania prawdopodobieństwo jest mniejsze, bo po wyjęciu czerwonej kulki zostaje mniej czerwonych. W dużym wazonie różnica prawie znika, dlatego ankieta wśród 1000 osób z wielomilionowego kraju może traktować każdą odpowiedź jako niezależną.
Liczenie za pomocą kombinacji
Zamiast rysować drzewo, można też liczyć. Jest C(9, 2) = 36 jednakowo prawdopodobnych par kulek, a C(5, 2) = 10 z nich to dwie czerwone: 10/36 = 5/18, ta sama odpowiedź. Przy większej liczbie losowań liczenie jest szybsze niż drzewo: prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie k czerwonych kulek w n losowaniach bez zwracania wynosi C(czerwone, k) × C(niebieskie, n − k) / C(wszystkie, n) – to rozkład hipergeometryczny.
Poznaj to w PictorX
Otwórz Kulki z wazonu, a czeka na ciebie wazon z 5 czerwonymi i 4 niebieskimi kulkami. Kliknij go, aby wylosować kulkę: unosi się z wazonu do miseczki, pozostałe kulki opadają, a komunikat mówi, co zostało i jaka jest teraz szansa na czerwoną. Drzewo stochastyczne podświetla gałąź, którą poszło losowanie, i pokazuje iloczyn przy każdym liściu; liście, które odpowiadają na pytanie, są zacieniowane, a ich obliczenie widać pod drzewem. Wybierz od 1 do 10 kulek każdego koloru, dwa lub trzy losowania, ze zwracaniem lub bez i jedno z pięciu pytań. Losuj automatycznie rozgrywa do 100 000 rund w tempie do 10 000 na sekundę, a wykres pokazuje, jak odsetek odpowiedzi „tak” ustala się na poziomie prawdopodobieństwa z drzewa.
Często zadawane pytania
Co oznacza losowanie bez zwracania?
Że wylosowanej kulki nie odkłada się z powrotem przed kolejnym losowaniem. Z każdym losowaniem w wazonie jest o jedną kulkę mniej, a prawdopodobieństwa się zmieniają.
Jaka jest szansa na dwie czerwone kulki przy 5 czerwonych i 4 niebieskich?
5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18, czyli około 27,8%, bez zwracania. Ze zwracaniem: 5/9 × 5/9 = 25/81, czyli około 30,9%.
Dlaczego liście drzewa stochastycznego sumują się do 1?
Bo każda runda kończy się dokładnie w jednym liściu. Gałęzie wychodzące z każdego węzła sumują się do 1, na przykład 4/8 + 4/8, więc mnożenie wzdłuż ścieżek rozdziela całe prawdopodobieństwo równe 1 między liście.
Czy wyjęcie dwóch kulek naraz to to samo co losowanie jednej po drugiej?
Tak. Wyjęcie dwóch kulek naraz daje te same prawdopodobieństwa co losowanie ich jedna po drugiej bez zwracania; po prostu nie wiesz, która była pierwsza.
Do czego służy model urnowy?
Do każdej sytuacji, w której elementy wybiera się losowo z ustalonej grupy: loterie, gry karciane, kontrola jakości, ankiety i genetyka. Wynikający z niego rozkład hipergeometryczny jest też podstawą dokładnego testu Fishera w statystyce.
Powiązane narzędzia
Kulki z wazonu
Losuj kulki z wazonu bez patrzenia i bez odkładania ich z powrotem. Śledź każde losowanie na drzewie stochastycznym: 5/9 × 4/8 = 5/18 dla dwóch czerwonych kulek. Potem pozwól komputerowi rozegrać 1000 rund.
Rzucanie kośćmi
Rzuć jedną, dwiema lub trzema kośćmi tysiąc razy i porównaj wykres słupkowy pokazujący, jak często wypadał każdy wynik, z oczekiwanymi częstościami. Zobacz, dlaczego 7 to najczęstsza suma.
Prawdopodobieństwo w rzutach kośćmi
Prawdopodobieństwo w rzutach kośćmi wyjaśnione: dlaczego każda ścianka ma szansę 1/6, jak policzyć sposoby wyrzucenia danej sumy, częstości oczekiwane i obserwowane, krzywa dzwonowa wielu kości oraz test chi-kwadrat dla uczciwej kości.
Paradoks Monty’ego Halla
Paradoks Monty’ego Halla do sprawdzenia: wybierz jedne z trojga drzwi, patrz, jak Monty otwiera inne z kozą, a potem zostań albo zmień. Graj samodzielnie albo pozwól komputerowi rozegrać 1000 gier i zobacz, że zmiana wygrywa w dwóch przypadkach na trzy.
Paradoks Monty’ego Halla
Paradoks Monty’ego Halla wyjaśniony: dlaczego zmiana wygrywa w 2/3 przypadków, tabela wszystkich przypadków, twierdzenie Bayesa, wersja z wieloma drzwiami, prowadzący, który nie wie, i spór z 1990 roku.
Deska Galtona
Puść kule przez rzędy kołków i patrz, jak krzywa dzwonowa wypełnia przegródki. Zmień liczbę rzędów, przechył i liczbę kul, a potem porównaj średnią i rozrzut z teorią.
Chcesz wypróbować?
Otwórz PictorX w swojej przeglądarce — do uruchomienia nie jest wymagana żadna instalacja ani karta kredytowa.
Losuj kulki z wazonu