फूलदान से कंचे निकालने के बारे में | कलश मॉडल और वृक्ष आरेख

कलश मॉडल

प्रायिकता में एक फूलदान, या कलश, में अलग-अलग रंगों के ज्ञात संख्या में कंचे होते हैं। आप बिना देखे एक या ज़्यादा कंचे निकालते हैं, इसलिए फूलदान में बचे हर कंचे के निकलने की संभावना बराबर होती है। याकोब बर्नूली ने लगभग 1700 में इस मॉडल का उपयोग किया, और तब से यह मानक उदाहरण रहा है: लॉटरी की गेंदें निकालना, ताश के पत्ते बाँटना, सर्वेक्षण के लिए लोग चुनना और उत्पादों के किसी बैच में खराबी जाँचना, ये सब फूलदान से कंचे निकालने की तरह ही काम करते हैं।

बिना प्रतिस्थापन, कदम दर कदम

5 लाल और 4 नीले कंचों वाला एक फूलदान लें, कुल 9, और बिना वापस डाले दो कंचे निकालें। पहला कंचा 5/9 प्रायिकता से लाल है। अगर वह लाल था, तो 8 कंचे बचते हैं, जिनमें 4 लाल हैं, इसलिए दूसरा कंचा 4/8 = 1/2 प्रायिकता से लाल है। दोनों के लाल होने की प्रायिकता 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18 ≈ 27.8% है।

वृक्ष आरेख

वृक्ष आरेख वे सभी तरीक़े दिखाता है जिनसे कंचे निकल सकते हैं। शुरुआत से एक शाखा लाल की ओर जाती है और एक नीले की ओर, और हर एक पर उसकी प्रायिकता लिखी होती है: 5/9 और 4/9। इनमें से हर एक से दो नई शाखाएँ दूसरे कंचे की ओर जाती हैं, उन प्रायिकताओं के साथ जो पहले कंचे के बाद लागू होती हैं: लाल के बाद 4/8 और 4/8, नीले के बाद 5/8 और 3/8। हर पथ एक पत्ती पर ख़त्म होता है। किसी पथ की प्रायिकता पाने के लिए उसके साथ-साथ प्रायिकताओं को गुणा करें: 20/72, 20/72, 20/72 और 12/72। सभी पत्तियाँ मिलकर 72/72 = 1 बनाती हैं।

पथों को जोड़ना और पूरक

जब किसी प्रश्न का उत्तर कई पत्तियाँ देती हैं, तो उनकी प्रायिकताएँ जोड़ें। ठीक एक लाल: लाल-नीला या नीला-लाल, 20/72 + 20/72 = 40/72 = 5/9। दोनों एक ही रंग के: 20/72 + 12/72 = 32/72 = 4/9। कम से कम एक लाल का मतलब है नीला-नीला को छोड़कर सब कुछ: 1 − 12/72 = 60/72 = 5/6। उलटी घटना को घटाना, यानी पूरक नियम, अक्सर सबसे तेज़ तरीक़ा होता है।

प्रतिस्थापन सहित

अगर आप अगली निकासी से पहले हर कंचा वापस डाल दें, तो फूलदान हर बार एक जैसा रहता है और निकासियाँ स्वतंत्र होती हैं। तब दोनों के लाल होने की प्रायिकता 5/9 × 5/9 = 25/81 ≈ 30.9% है। बिना प्रतिस्थापन प्रायिकता कम होती है, क्योंकि लाल कंचा निकालने से लाल कंचे कम बचते हैं। बड़े फूलदान में अंतर लगभग गायब हो जाता है, इसीलिए करोड़ों की आबादी वाले देश के 1,000 लोगों के सर्वेक्षण में हर उत्तर को स्वतंत्र माना जा सकता है।

संचय से गिनती

वृक्ष बनाने के बजाय आप गिनती भी कर सकते हैं। कंचों के C(9, 2) = 36 समान रूप से संभावित जोड़े हैं, और उनमें से C(5, 2) = 10 जोड़ों में दोनों कंचे लाल हैं: 10/36 = 5/18, वही उत्तर। ज़्यादा निकासियों के साथ गिनती वृक्ष से जल्दी होती है: बिना प्रतिस्थापन n निकासियों में ठीक k लाल कंचे आने की प्रायिकता C(लाल, k) × C(नीले, n − k) / C(कुल, n) है, जिसे हाइपरज्योमेट्रिक बंटन कहते हैं।

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“फूलदान से कंचे” खोलें, और 5 लाल और 4 नीले कंचों वाला फूलदान आपका इंतज़ार कर रहा होता है। कंचा निकालने के लिए उस पर क्लिक करें: कंचा फूलदान से उठकर एक कटोरी में आ जाता है, बचे हुए कंचे नीचे बैठ जाते हैं, और संदेश बताता है कि क्या बचा है और अब लाल की प्रायिकता क्या है। वृक्ष आरेख आपकी ली हुई शाखा को चमका देता है और हर पत्ती पर गुणनफल दिखाता है; प्रश्न का उत्तर देने वाली पत्तियाँ छायांकित होती हैं, और उनकी गणना वृक्ष के नीचे लिखी होती है। हर रंग के 1 से 10 कंचे, दो या तीन निकासियाँ, प्रतिस्थापन सहित या बिना, और पाँच में से एक प्रश्न चुनें। “अपने-आप निकालें” 10,000 प्रति सेकंड तक की रफ़्तार से 100,000 तक दौर चलाता है, और चार्ट दिखाता है कि हाँ वाले दौरों का हिस्सा वृक्ष से मिली प्रायिकता पर कैसे टिक जाता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

बिना प्रतिस्थापन का क्या अर्थ है?

यह कि निकाला गया कंचा अगली निकासी से पहले वापस नहीं डाला जाता। हर निकासी के साथ फूलदान में एक कंचा कम हो जाता है, और प्रायिकताएँ बदल जाती हैं।

5 लाल और 4 नीले कंचों में से दो लाल कंचों की प्रायिकता क्या है?

बिना प्रतिस्थापन 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18, लगभग 27.8%। प्रतिस्थापन सहित यह 5/9 × 5/9 = 25/81, लगभग 30.9% है।

वृक्ष आरेख की पत्तियों का योग 1 क्यों होता है?

क्योंकि हर दौर ठीक एक पत्ती पर ख़त्म होता है। हर नोड से निकलने वाली शाखाओं का योग 1 होता है, जैसे 4/8 + 4/8, इसलिए पथों के साथ-साथ गुणा करने से पूरी प्रायिकता 1 पत्तियों में बँट जाती है।

क्या दो कंचे एक साथ निकालना उन्हें एक के बाद एक निकालने जैसा ही है?

हाँ। दो कंचे एक साथ उठाने पर प्रायिकताएँ वही होती हैं जो उन्हें बिना प्रतिस्थापन एक के बाद एक निकालने पर; बस आपको पता नहीं होता कि पहले कौन-सा आया।

कलश मॉडल का उपयोग किसलिए होता है?

हर उस स्थिति के लिए जहाँ किसी निश्चित समूह से चीज़ें यादृच्छिक रूप से चुनी जाती हैं: लॉटरी, ताश के खेल, गुणवत्ता नियंत्रण, सर्वेक्षण और आनुवंशिकी। इससे निकलने वाला हाइपरज्योमेट्रिक बंटन सांख्यिकी में फ़िशर के यथार्थ परीक्षण का आधार भी है।