عن سحب الكرات من المزهرية | نموذج الجرة والمخطط الشجري

نموذج الجرة

في الاحتمالات تحوي المزهرية، أو الجرة، عددًا معروفًا من الكرات بألوان مختلفة. تسحب واحدة أو أكثر دون أن تنظر، فيكون لكل كرة لا تزال في المزهرية الفرصة نفسها لأن تُسحب. استخدم ياكوب برنولي هذا النموذج نحو عام 1700، ومنذ ذلك الحين صار المثال المعياري: سحب كرات اليانصيب، وتوزيع أوراق اللعب، واختيار أشخاص لاستطلاع رأي، وفحص دفعة من المنتجات بحثًا عن العيوب، كلها تعمل مثل سحب الكرات من مزهرية.

دون إرجاع، خطوة بخطوة

خذ مزهرية فيها 5 كرات حمراء و4 زرقاء، أي 9 إجمالًا، واسحب منها كرتين دون إعادتهما. تكون الكرة الأولى حمراء باحتمال 5/9. فإن كانت حمراء بقيت 8 كرات، منها 4 حمراء، فتكون الثانية حمراء باحتمال 4/8 = 1/2. واحتمال أن تكون الكرتان حمراوين هو 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18 ≈ 27.8%.

المخطط الشجري

يرسم المخطط الشجري كل الطرق التي يمكن أن يجري بها السحب. من البداية يتجه فرع إلى الحمراء وفرع إلى الزرقاء، وعلى كل منهما احتماله: 5/9 و4/9. ومن كل منهما يتفرع فرعان جديدان إلى الكرة الثانية، بالاحتمالات التي تسري بعد الأولى: 4/8 و4/8 بعد الحمراء، و5/8 و3/8 بعد الزرقاء. وينتهي كل مسار بورقة. اضرب الاحتمالات على طول المسار لتحصل على احتماله: 20/72 و20/72 و20/72 و12/72. ومجموع الأوراق كلها 72/72 = 1.

جمع المسارات والحدث المتمم

حين يجيب عن السؤال أكثر من ورقة، اجمع احتمالاتها. حمراء واحدة بالضبط: حمراء-زرقاء أو زرقاء-حمراء، 20/72 + 20/72 = 40/72 = 5/9. الكرتان من اللون نفسه: 20/72 + 12/72 = 32/72 = 4/9. حمراء واحدة على الأقل هي كل شيء ما عدا زرقاء-زرقاء: 1 − 12/72 = 60/72 = 5/6. وطرح الحدث المعاكس، أي قاعدة الحدث المتمم، هو غالبًا أسرع طريقة.

مع الإرجاع

إذا أعدت كل كرة قبل السحبة التالية، بقيت المزهرية كما هي في كل مرة وكانت السحبات مستقلة. عندئذٍ يكون احتمال أن تكون الكرتان حمراوين 5/9 × 5/9 = 25/81 ≈ 30.9%. ودون إرجاع يكون الاحتمال أصغر، لأن إخراج كرة حمراء يُبقي كرات حمراء أقل. وفي مزهرية كبيرة يكاد الفرق يختفي، ولهذا يمكن لاستطلاع يشمل 1000 شخص من بلد فيه ملايين السكان أن يعامل كل إجابة على أنها مستقلة.

العدّ بالتوافيق

يمكنك أيضًا أن تعدّ بدلًا من رسم شجرة. هناك C(9, 2) = 36 زوجًا من الكرات متساوية الاحتمال، منها C(5, 2) = 10 أزواج من كرتين حمراوين: 10/36 = 5/18، الجواب نفسه. ومع سحبات أكثر يكون العدّ أسرع من الشجرة: احتمال سحب k من الكرات الحمراء بالضبط في n من السحبات دون إرجاع هو C(الحمراء, k) × C(الزرقاء, n − k) / C(الكل, n)، وهذا هو التوزيع فوق الهندسي.

استكشفه في PictorX

افتح «كرات من المزهرية» فتجد مزهرية فيها 5 كرات حمراء و4 زرقاء بانتظارك. انقر عليها لتسحب كرة: ترتفع الكرة من المزهرية إلى طبق، وتستقر الكرات الباقية، وتخبرك الرسالة بما بقي وبما صار عليه احتمال الحمراء الآن. يضيء المخطط الشجري الفرع الذي سلكته ويعرض حاصل الضرب عند كل ورقة؛ والأوراق التي تجيب عن السؤال مظللة، وحسابها مكتوب تحت الشجرة. اختر من 1 إلى 10 كرات من كل لون، وسحبتين أو ثلاثًا، مع الإرجاع أو دونه، وسؤالًا من خمسة أسئلة. يسحب «سحب تلقائي» حتى 100,000 جولة بسرعة تصل إلى 10,000 في الثانية، ويُظهر المخطط البياني نسبة «نعم» وهي تستقر عند الاحتمال الذي يعطيه المخطط الشجري.

الأسئلة المتداولة

ماذا يعني السحب دون إرجاع؟

أن الكرة التي سحبتها لا تُعاد قبل السحبة التالية. فتنقص المزهرية كرة واحدة مع كل سحبة، وتتغير الاحتمالات.

ما احتمال سحب كرتين حمراوين من 5 حمراء و4 زرقاء؟

5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18، أي نحو 27.8%، دون إرجاع. ومع الإرجاع يكون 5/9 × 5/9 = 25/81، أي نحو 30.9%.

لماذا يكون مجموع أوراق المخطط الشجري 1؟

لأن كل جولة تنتهي عند ورقة واحدة بالضبط. ومجموع الفروع الخارجة من كل عقدة 1، مثل 4/8 + 4/8، لذا فالضرب على طول المسارات يوزّع الاحتمال الكامل 1 على الأوراق.

هل سحب كرتين معًا هو نفسه سحبهما واحدة بعد الأخرى؟

نعم. أخذ كرتين دفعة واحدة يعطي الاحتمالات نفسها التي يعطيها سحبهما واحدة بعد الأخرى دون إرجاع؛ كل ما في الأمر أنك لا تعرف أيهما جاءت أولًا.

فيمَ يُستخدم نموذج الجرة؟

في أي موقف تُختار فيه عناصر عشوائيًا من مجموعة ثابتة: اليانصيب، وألعاب الورق، وضبط الجودة، واستطلاعات الرأي، وعلم الوراثة. والتوزيع فوق الهندسي الناتج عنه هو أيضًا أساس اختبار فيشر الدقيق في الإحصاء.