Về việc lấy bi từ bình hoa | Mô hình bình và sơ đồ cây

Mô hình bình

Trong xác suất, một chiếc bình chứa một số lượng bi đã biết với các màu khác nhau. Bạn lấy ra một hay nhiều viên mà không nhìn, nên mọi viên bi còn trong bình đều có cùng khả năng được lấy. Jacob Bernoulli đã dùng mô hình này vào khoảng năm 1700, và từ đó đến nay nó vẫn là ví dụ tiêu chuẩn: quay số xổ số, chia bài, chọn người tham gia khảo sát và kiểm tra lỗi trong một lô sản phẩm đều diễn ra giống như lấy bi từ bình hoa.

Không hoàn lại, từng bước một

Lấy một bình hoa có 5 bi đỏ và 4 bi xanh, tổng cộng 9 viên, và lấy ra hai viên mà không bỏ trở lại. Viên thứ nhất đỏ với xác suất 5/9. Nếu nó đỏ, còn lại 8 viên, trong đó 4 viên đỏ, nên viên thứ hai đỏ với xác suất 4/8 = 1/2. Xác suất để cả hai đều đỏ là 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18 ≈ 27,8%.

Sơ đồ cây

Sơ đồ cây vẽ ra mọi khả năng có thể xảy ra khi lấy bi. Từ điểm xuất phát, một nhánh dẫn đến đỏ và một nhánh dẫn đến xanh, mỗi nhánh ghi xác suất của nó: 5/9 và 4/9. Từ mỗi nhánh đó, hai nhánh mới dẫn đến viên bi thứ hai, với các xác suất áp dụng sau lần lấy thứ nhất: 4/8 và 4/8 sau đỏ, 5/8 và 3/8 sau xanh. Mỗi đường đi kết thúc ở một lá. Nhân các xác suất dọc theo một đường đi để được xác suất của nó: 20/72, 20/72, 20/72 và 12/72. Cộng tất cả các lá lại được 72/72 = 1.

Cộng các đường đi và biến cố đối

Khi một câu hỏi được trả lời bởi nhiều lá, hãy cộng xác suất của chúng. Đúng một viên đỏ: đỏ-xanh hoặc xanh-đỏ, 20/72 + 20/72 = 40/72 = 5/9. Hai viên cùng màu: 20/72 + 12/72 = 32/72 = 4/9. Ít nhất một viên đỏ là mọi trường hợp trừ xanh-xanh: 1 − 12/72 = 60/72 = 5/6. Trừ đi trường hợp ngược lại, tức quy tắc biến cố đối, thường là cách nhanh nhất.

Lấy có hoàn lại

Nếu bạn bỏ mỗi viên bi trở lại trước lần lấy tiếp theo, bình lần nào cũng như nhau và các lần lấy độc lập với nhau. Khi đó xác suất cả hai đều đỏ là 5/9 × 5/9 = 25/81 ≈ 30,9%. Khi không hoàn lại, xác suất nhỏ hơn, vì lấy ra một viên đỏ thì số bi đỏ còn lại ít đi. Trong một bình lớn, chênh lệch này gần như biến mất, đó là lý do một cuộc khảo sát 1.000 người ở một quốc gia hàng triệu dân có thể coi mọi câu trả lời là độc lập.

Đếm bằng tổ hợp

Bạn cũng có thể đếm thay vì vẽ sơ đồ cây. Có C(9, 2) = 36 cặp bi đồng khả năng, và C(5, 2) = 10 cặp trong số đó là hai viên đỏ: 10/36 = 5/18, cùng một đáp án. Với nhiều lần lấy hơn, đếm nhanh hơn vẽ cây: xác suất lấy được đúng k viên đỏ trong n lần lấy không hoàn lại là C(đỏ, k) × C(xanh, n − k) / C(tổng, n), tức phân phối siêu bội.

Khám phá trong PictorX

Mở Lấy bi từ bình hoa và một bình hoa có 5 bi đỏ và 4 bi xanh đang chờ bạn. Bấm vào bình để lấy một viên bi: viên bi nhấc lên khỏi bình và rơi vào đĩa, các viên còn lại lắng xuống, và dòng thông báo cho bạn biết còn lại những gì và xác suất ra bi đỏ bây giờ là bao nhiêu. Sơ đồ cây làm sáng nhánh bạn đã đi qua và hiển thị tích ở mỗi lá; các lá trả lời câu hỏi được tô bóng, và phép tính của chúng nằm bên dưới cây. Chọn từ 1 đến 10 viên bi mỗi màu, hai hoặc ba lần lấy, có hoặc không hoàn lại, và một trong năm câu hỏi. Tự động lấy chạy tới 100.000 lượt với tốc độ tới 10.000 lượt mỗi giây, và biểu đồ cho thấy tỉ lệ câu trả lời có ổn định dần ở xác suất tính từ sơ đồ cây.

Hỏi thường xuyên

Không hoàn lại nghĩa là gì?

Nghĩa là viên bi đã lấy ra không được bỏ trở lại trước lần lấy tiếp theo. Sau mỗi lần lấy, bình bớt đi một viên, và các xác suất thay đổi.

Xác suất lấy được hai bi đỏ từ 5 bi đỏ và 4 bi xanh là bao nhiêu?

5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18, khoảng 27,8%, khi không hoàn lại. Khi có hoàn lại, xác suất là 5/9 × 5/9 = 25/81, khoảng 30,9%.

Vì sao các lá của sơ đồ cây cộng lại bằng 1?

Vì mỗi lượt kết thúc ở đúng một lá. Các nhánh đi ra từ mỗi nút cộng lại bằng 1, ví dụ 4/8 + 4/8, nên nhân dọc theo các đường đi sẽ chia toàn bộ xác suất 1 cho các lá.

Lấy hai viên bi cùng lúc có giống lấy lần lượt từng viên không?

Có. Bốc hai viên bi cùng lúc cho cùng các xác suất như lấy lần lượt từng viên không hoàn lại; chỉ là bạn không biết viên nào ra trước.

Mô hình bình được dùng để làm gì?

Cho mọi tình huống mà các đối tượng được chọn ngẫu nhiên từ một nhóm cố định: xổ số, trò chơi bài, kiểm soát chất lượng, khảo sát và di truyền học. Phân phối siêu bội suy ra từ nó cũng là nền tảng của kiểm định chính xác Fisher trong thống kê.