Sacar canicas de un jarrón
Un jarrón con canicas de colores, la urna de los libros de texto, es el modelo clásico del azar en las matemáticas escolares. Convierte cualquier pregunta sobre extraer, elegir o tomar muestras en una imagen que se puede contar.
El modelo de urna
En probabilidad, un jarrón, o una urna, contiene un número conocido de canicas de distintos colores. Se sacan una o varias sin mirar, de modo que cada canica que sigue en el jarrón tiene la misma probabilidad de salir. Jakob Bernoulli usó el modelo hacia 1700, y desde entonces es el ejemplo de referencia: sacar las bolas de la lotería, repartir cartas, elegir personas para una encuesta y revisar un lote de productos en busca de defectos funcionan como sacar canicas de un jarrón.
Sin reposición, paso a paso
Toma un jarrón con 5 canicas rojas y 4 azules, 9 en total, y saca dos sin devolverlas. La primera canica es roja con probabilidad 5/9. Si era roja, quedan 8 canicas, 4 de ellas rojas, así que la segunda es roja con probabilidad 4/8 = 1/2. La probabilidad de que las dos sean rojas es 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18 ≈ 27,8 %.
El diagrama de árbol
Un diagrama de árbol dibuja todas las formas en que pueden salir las extracciones. Desde el inicio, una rama lleva a roja y otra a azul, cada una con su probabilidad: 5/9 y 4/9. De cada una salen dos ramas nuevas hacia la segunda canica, con las probabilidades que rigen después de la primera: 4/8 y 4/8 tras una roja, 5/8 y 3/8 tras una azul. Cada camino termina en una hoja. Multiplica las probabilidades a lo largo de un camino para obtener su probabilidad: 20/72, 20/72, 20/72 y 12/72. Juntas, las hojas suman 72/72 = 1.
Sumar caminos y el suceso contrario
Cuando una pregunta se responde con varias hojas, suma sus probabilidades. Exactamente una roja: roja-azul o azul-roja, 20/72 + 20/72 = 40/72 = 5/9. Las dos del mismo color: 20/72 + 12/72 = 32/72 = 4/9. Al menos una roja es todo menos azul-azul: 1 − 12/72 = 60/72 = 5/6. Restar lo contrario, la regla del suceso contrario, suele ser el camino más rápido.
Con reposición
Si devuelves cada canica antes de la siguiente extracción, el jarrón es el mismo cada vez y las extracciones son independientes. Dos rojas tienen entonces probabilidad 5/9 × 5/9 = 25/81 ≈ 30,9 %. Sin reposición la probabilidad es menor, porque al sacar una canica roja quedan menos rojas. En un jarrón grande la diferencia casi desaparece, y por eso una encuesta a 1000 personas de un país de millones puede tratar cada respuesta como independiente.
Contar con combinaciones
También puedes contar en lugar de dibujar un árbol. Hay C(9, 2) = 36 parejas de canicas igual de probables, y C(5, 2) = 10 de ellas son de dos rojas: 10/36 = 5/18, la misma respuesta. Con más extracciones, contar es más rápido que un árbol: la probabilidad de exactamente k canicas rojas en n extracciones sin reposición es C(rojas, k) × C(azules, n − k) / C(total, n), la distribución hipergeométrica.
Explóralo en PictorX
Abre Canicas de un jarrón y te espera un jarrón con 5 canicas rojas y 4 azules. Haz clic en él para sacar una canica: sale del jarrón y se posa en un cuenco, las que quedan se reacomodan y el mensaje te dice qué queda y cuál es ahora la probabilidad de sacar roja. El diagrama de árbol ilumina la rama que has seguido y muestra el producto en cada hoja; las hojas que responden a la pregunta aparecen sombreadas, y su cálculo figura debajo del árbol. Elige de 1 a 10 canicas de cada color, dos o tres extracciones, con o sin reposición, y una de cinco preguntas. «Sacar automáticamente» hace hasta 100 000 rondas a un ritmo de hasta 10 000 por segundo, y el gráfico muestra cómo la proporción de «sí» se estabiliza en la probabilidad del árbol.
Preguntas frecuentes
¿Qué significa sin reposición?
Que una canica que has sacado no se devuelve antes de la siguiente extracción. El jarrón tiene una canica menos en cada extracción, y las probabilidades cambian.
¿Cuál es la probabilidad de sacar dos canicas rojas de 5 rojas y 4 azules?
5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18, alrededor del 27,8 %, sin reposición. Con reposición es 5/9 × 5/9 = 25/81, alrededor del 30,9 %.
¿Por qué las hojas de un diagrama de árbol suman 1?
Porque cada ronda termina en exactamente una hoja. Las ramas que salen de cada nodo suman 1, por ejemplo 4/8 + 4/8, así que multiplicar a lo largo de los caminos reparte la probabilidad total de 1 entre las hojas.
¿Es lo mismo sacar dos canicas a la vez que una tras otra?
Sí. Tomar dos canicas a la vez da las mismas probabilidades que sacarlas una tras otra sin reposición; simplemente no sabes cuál salió primero.
¿Para qué se usa el modelo de urna?
Para cualquier situación en la que se eligen elementos al azar de un grupo fijo: loterías, juegos de cartas, control de calidad, encuestas y genética. La distribución hipergeométrica que se deriva de él es también la base de la prueba exacta de Fisher en estadística.
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