Despre extragerea bilelor dintr-o vază | Modelul urnei și arborii de probabilități

Modelul urnei

În teoria probabilităților, o vază, sau urnă, conține un număr cunoscut de bile de culori diferite. Extragi una sau mai multe fără să te uiți, așa că fiecare bilă aflată încă în vază are aceeași șansă de a fi extrasă. Jacob Bernoulli a folosit modelul în jurul anului 1700, iar de atunci a rămas exemplul standard: extragerea bilelor la loto, împărțirea cărților, alegerea persoanelor pentru un sondaj și verificarea unui lot de produse pentru defecte funcționează toate ca extragerea bilelor dintr-o vază.

Fără revenire, pas cu pas

Ia o vază cu 5 bile roșii și 4 albastre, 9 în total, și extrage două fără să le pui înapoi. Prima bilă este roșie cu probabilitatea 5/9. Dacă a fost roșie, rămân 8 bile, dintre care 4 roșii, deci a doua este roșie cu probabilitatea 4/8 = 1/2. Probabilitatea ca ambele să fie roșii este 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18 ≈ 27,8%.

Arborele de probabilități

Un arbore de probabilități desenează toate felurile în care pot decurge extragerile. De la start, o ramură duce la roșie și una la albastră, fiecare etichetată cu probabilitatea ei: 5/9 și 4/9. Din fiecare dintre ele pornesc două ramuri noi spre a doua bilă, cu probabilitățile valabile după prima extragere: 4/8 și 4/8 după roșie, 5/8 și 3/8 după albastră. Fiecare drum se termină într-o frunză. Înmulțește probabilitățile de-a lungul unui drum ca să obții probabilitatea lui: 20/72, 20/72, 20/72 și 12/72. Împreună, frunzele dau 72/72 = 1.

Adunarea drumurilor și evenimentul contrar

Când la o întrebare răspund mai multe frunze, adună-le probabilitățile. Exact una roșie: roșie-albastră sau albastră-roșie, 20/72 + 20/72 = 40/72 = 5/9. Ambele de aceeași culoare: 20/72 + 12/72 = 32/72 = 4/9. Cel puțin una roșie înseamnă tot în afară de albastră-albastră: 1 − 12/72 = 60/72 = 5/6. Să scazi probabilitatea evenimentului contrar, adică regula evenimentului contrar, este adesea calea cea mai rapidă.

Cu revenire

Dacă pui fiecare bilă înapoi înainte de extragerea următoare, vaza este de fiecare dată aceeași, iar extragerile sunt independente. Ambele roșii au atunci probabilitatea 5/9 × 5/9 = 25/81 ≈ 30,9%. Fără revenire probabilitatea este mai mică, pentru că, după ce scoți o bilă roșie, rămân mai puține roșii. Într-o vază mare diferența aproape dispare, de aceea un sondaj pe 1.000 de persoane dintr-o țară cu milioane de locuitori poate trata fiecare răspuns ca independent.

Numărarea cu combinări

Poți și să numeri în loc să desenezi un arbore. Există C(9, 2) = 36 de perechi de bile la fel de probabile, iar C(5, 2) = 10 dintre ele sunt două roșii: 10/36 = 5/18, același răspuns. La mai multe extrageri, numărarea e mai rapidă decât un arbore: probabilitatea a exact k bile roșii în n extrageri fără revenire este C(roșii, k) × C(albastre, n − k) / C(total, n), distribuția hipergeometrică.

Explorează-l în PictorX

Deschide Bile dintr-o vază și te așteaptă o vază cu 5 bile roșii și 4 albastre. Dă clic pe ea ca să extragi o bilă: se ridică din vază într-un bol, bilele rămase se așază, iar mesajul îți spune ce a rămas și care este acum șansa de a ieși roșie. Arborele de probabilități aprinde ramura pe care ai mers și arată produsul la fiecare frunză; frunzele care răspund la întrebare sunt hașurate, iar calculul lor apare sub arbore. Alege între 1 și 10 bile din fiecare culoare, două sau trei extrageri, cu sau fără revenire și una dintre cinci întrebări. Extrage automat rulează până la 100.000 de runde, cu până la 10.000 pe secundă, iar graficul arată cum ponderea răspunsurilor „da” se stabilizează la probabilitatea din arbore.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă fără revenire?

Că o bilă extrasă nu este pusă înapoi înainte de extragerea următoare. Vaza are cu o bilă mai puțin după fiecare extragere, iar probabilitățile se schimbă.

Care este probabilitatea a două bile roșii din 5 roșii și 4 albastre?

5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18, aproximativ 27,8%, fără revenire. Cu revenire este 5/9 × 5/9 = 25/81, aproximativ 30,9%.

De ce frunzele unui arbore de probabilități dau împreună 1?

Pentru că fiecare rundă se termină în exact o frunză. Ramurile care pleacă din fiecare nod dau împreună 1, de exemplu 4/8 + 4/8, așa că înmulțirea de-a lungul drumurilor împarte întreaga probabilitate de 1 între frunze.

Este extragerea a două bile deodată la fel ca extragerea lor una după alta?

Da. Dacă iei două bile deodată, obții aceleași probabilități ca atunci când le extragi una după alta fără revenire; doar că nu știi care a ieșit prima.

La ce se folosește modelul urnei?

În orice situație în care elementele sunt alese la întâmplare dintr-un grup fix: loterii, jocuri de cărți, controlul calității, sondaje și genetică. Distribuția hipergeometrică ce decurge din el stă și la baza testului exact al lui Fisher din statistică.