Over knikkers trekken uit een vaas | Het vaasmodel en boomdiagrammen

Het vaasmodel

In de kansrekening zit in een vaas, of urn, een bekend aantal knikkers in verschillende kleuren. Je pakt er zonder te kijken een of meer uit, zodat elke knikker die nog in de vaas zit even veel kans heeft om getrokken te worden. Jacob Bernoulli gebruikte het model al rond 1700, en sindsdien is het hét standaardvoorbeeld: lotto-ballen trekken, kaarten delen, mensen kiezen voor een enquête en een partij producten controleren op fouten werken allemaal als knikkers trekken uit een vaas.

Zonder terugleggen, stap voor stap

Neem een vaas met 5 rode en 4 blauwe knikkers, 9 in totaal, en pak er twee zonder ze terug te leggen. De eerste knikker is rood met kans 5/9. Was hij rood, dan zijn er nog 8 knikkers over, waarvan 4 rode, dus de tweede is rood met kans 4/8 = 1/2. De kans dat ze allebei rood zijn is 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18 ≈ 27,8%.

Het boomdiagram

Een boomdiagram tekent alle manieren waarop het trekken kan lopen. Vanaf het begin gaat één tak naar rood en één naar blauw, elk met zijn kans erbij: 5/9 en 4/9. Vanuit elk daarvan gaan twee nieuwe takken naar de tweede knikker, met de kansen die na de eerste gelden: 4/8 en 4/8 na rood, 5/8 en 3/8 na blauw. Elk pad eindigt in een blad. Vermenigvuldig de kansen langs een pad om de kans op dat pad te krijgen: 20/72, 20/72, 20/72 en 12/72. Samen zijn de bladeren 72/72 = 1.

Paden optellen en het complement

Wordt een vraag door meerdere bladeren beantwoord, tel dan hun kansen op. Precies één rode: rood-blauw of blauw-rood, 20/72 + 20/72 = 40/72 = 5/9. Allebei dezelfde kleur: 20/72 + 12/72 = 32/72 = 4/9. Minstens één rode is alles behalve blauw-blauw: 1 − 12/72 = 60/72 = 5/6. Het tegenovergestelde aftrekken, de complementregel, is vaak de snelste weg.

Met terugleggen

Leg je elke knikker terug voor de volgende trekking, dan is de vaas elke keer hetzelfde en zijn de trekkingen onafhankelijk. Allebei rood heeft dan kans 5/9 × 5/9 = 25/81 ≈ 30,9%. Zonder terugleggen is de kans kleiner, omdat er na een rode knikker minder rode over zijn. In een grote vaas verdwijnt het verschil bijna, en daarom mag een enquête onder 1.000 mensen uit een land met miljoenen inwoners elk antwoord als onafhankelijk behandelen.

Tellen met combinaties

Je kunt ook tellen in plaats van een boom te tekenen. Er zijn C(9, 2) = 36 even waarschijnlijke paren knikkers, en C(5, 2) = 10 daarvan zijn twee rode: 10/36 = 5/18, hetzelfde antwoord. Bij meer trekkingen is tellen sneller dan een boom: de kans op precies k rode knikkers bij n trekkingen zonder terugleggen is C(rood, k) × C(blauw, n − k) / C(totaal, n), de hypergeometrische verdeling.

Ontdek het in PictorX

Open Knikkers uit een vaas en er staat een vaas met 5 rode en 4 blauwe knikkers klaar. Klik erop om een knikker te pakken: hij komt uit de vaas en belandt in een schaaltje, de overgebleven knikkers zakken naar beneden, en de melding vertelt wat er over is en wat de kans op rood nu is. Het boomdiagram licht de tak op die je nam en toont bij elk blad het product; de bladeren die de vraag met ja beantwoorden zijn gemarkeerd, en hun berekening staat onder de boom. Kies 1 tot 10 knikkers van elke kleur, twee of drie trekkingen, met of zonder terugleggen, en een van vijf vragen. Automatisch trekken doet tot 100.000 rondes met tot 10.000 per seconde, en de grafiek laat het aandeel ja naar de kans uit de boom gaan.

Veelgestelde vragen

Wat betekent zonder terugleggen?

Dat je een getrokken knikker niet terugstopt voor de volgende trekking. De vaas wordt bij elke trekking een knikker kleiner, en de kansen veranderen.

Wat is de kans op twee rode knikkers uit 5 rode en 4 blauwe?

5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18, ongeveer 27,8%, zonder terugleggen. Met terugleggen is het 5/9 × 5/9 = 25/81, ongeveer 30,9%.

Waarom tellen de bladeren van een boomdiagram op tot 1?

Omdat elke ronde in precies één blad eindigt. De takken uit elk knooppunt tellen op tot 1, bijvoorbeeld 4/8 + 4/8, dus door langs de paden te vermenigvuldigen verdeel je de totale kans van 1 over de bladeren.

Is twee knikkers tegelijk pakken hetzelfde als na elkaar?

Ja. Twee knikkers in één keer pakken geeft dezelfde kansen als ze na elkaar pakken zonder terugleggen; je weet alleen niet welke eerst kwam.

Waarvoor wordt het vaasmodel gebruikt?

Voor elke situatie waarin dingen willekeurig uit een vaste groep worden gekozen: loterijen, kaartspellen, kwaliteitscontrole, enquêtes en erfelijkheid. De hypergeometrische verdeling die eruit volgt, is ook de basis van de exacte toets van Fisher in de statistiek.