Om att dra kulor ur en vas | Urnmodellen och träddiagram

Urnmodellen

Inom sannolikhetsläran innehåller en vas, eller urna, ett känt antal kulor i olika färger. Man drar en eller flera utan att titta, så varje kula som fortfarande ligger i vasen har samma chans att bli dragen. Jacob Bernoulli använde modellen omkring 1700, och sedan dess har den varit standardexemplet: att dra lottokulor, dela ut kort, välja ut personer till en enkät och kontrollera ett parti varor efter fel fungerar alltihop som att dra kulor ur en vas.

Utan återläggning, steg för steg

Ta en vas med 5 röda och 4 blå kulor, 9 totalt, och dra två utan att lägga tillbaka dem. Den första kulan är röd med sannolikheten 5/9. Om den var röd finns 8 kulor kvar, varav 4 röda, så den andra är röd med sannolikheten 4/8 = 1/2. Sannolikheten att båda är röda är 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18 ≈ 27,8 %.

Träddiagrammet

Ett träddiagram ritar upp alla sätt dragningarna kan gå på. Från starten leder en gren till röd och en till blå, var och en märkt med sin sannolikhet: 5/9 och 4/9. Från var och en av dem leder två nya grenar till den andra kulan, med de sannolikheter som gäller efter den första: 4/8 och 4/8 efter röd, 5/8 och 3/8 efter blå. Varje väg slutar i ett löv. Multiplicera sannolikheterna längs en väg för att få dess sannolikhet: 20/72, 20/72, 20/72 och 12/72. Tillsammans blir löven 72/72 = 1.

Lägga ihop vägar och komplementet

När en fråga besvaras av flera löv adderar man deras sannolikheter. Exakt en röd: röd-blå eller blå-röd, 20/72 + 20/72 = 40/72 = 5/9. Båda av samma färg: 20/72 + 12/72 = 32/72 = 4/9. Minst en röd är allt utom blå-blå: 1 − 12/72 = 60/72 = 5/6. Att dra ifrån motsatsen, komplementregeln, är ofta det snabbaste sättet.

Med återläggning

Om du lägger tillbaka varje kula före nästa dragning är vasen densamma varje gång och dragningarna är oberoende. Båda röda har då sannolikheten 5/9 × 5/9 = 25/81 ≈ 30,9 %. Utan återläggning är sannolikheten mindre, eftersom det finns färre röda kvar när en röd kula har tagits ut. I en stor vas försvinner skillnaden nästan, och därför kan en enkät bland 1 000 personer i ett land med miljoner invånare behandla varje svar som oberoende.

Räkna med kombinationer

Man kan också räkna i stället för att rita ett träd. Det finns C(9, 2) = 36 lika sannolika par av kulor, och C(5, 2) = 10 av dem är två röda: 10/36 = 5/18, samma svar. Med fler dragningar går det snabbare att räkna än att rita ett träd: sannolikheten för exakt k röda kulor vid n dragningar utan återläggning är C(röda, k) × C(blå, n − k) / C(totalt, n), den hypergeometriska fördelningen.

Utforska det i PictorX

Öppna Kulor ur en vas, så väntar en vas med 5 röda och 4 blå kulor. Klicka på den för att dra en kula: den lyfts upp ur vasen och ner i en skål, de kvarvarande kulorna sätter sig till rätta och meddelandet berättar vad som finns kvar och vad sannolikheten för röd är nu. Träddiagrammet lyser upp grenen du tog och visar produkten vid varje löv; löven som svarar mot frågan är skuggade, och deras uträkning står under trädet. Välj 1 till 10 kulor av varje färg, två eller tre dragningar, med eller utan återläggning och en av fem frågor. Dra automatiskt kör upp till 100 000 omgångar med upp till 10 000 i sekunden, och diagrammet visar andelen ja stabilisera sig vid sannolikheten från trädet.

Ofta ställda frågor

Vad betyder utan återläggning?

Att en kula du har dragit inte läggs tillbaka före nästa dragning. Vasen blir en kula mindre för varje dragning, och sannolikheterna ändras.

Hur stor är sannolikheten för två röda kulor av 5 röda och 4 blå?

5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18, ungefär 27,8 %, utan återläggning. Med återläggning är den 5/9 × 5/9 = 25/81, ungefär 30,9 %.

Varför blir löven i ett träddiagram tillsammans 1?

Eftersom varje omgång slutar i exakt ett löv. Grenarna från varje nod blir tillsammans 1, till exempel 4/8 + 4/8, så när man multiplicerar längs vägarna fördelas hela sannolikheten 1 över löven.

Är det samma sak att dra två kulor på en gång som en i taget?

Ja. Att ta två kulor på en gång ger samma sannolikheter som att dra dem en i taget utan återläggning; man vet bara inte vilken som kom först.

Vad används urnmodellen till?

Till alla situationer där föremål väljs slumpmässigt ur en bestämd grupp: lotterier, kortspel, kvalitetskontroll, enkäter och genetik. Den hypergeometriska fördelningen som följer av den är också grunden för Fishers exakta test i statistik.