花瓶からビー玉を取り出す
色とりどりのビー玉が入った花瓶は、学校数学で確率を考えるときの代表的なモデルです。取り出す、選ぶ、標本を抜き出すといったあらゆる問題を、数えられる絵に変えてくれます。
壺モデル
確率では、花瓶、つまり壺に、色の違うビー玉が決まった数だけ入っていると考えます。見ないで1個または何個かを取り出すので、花瓶に残っているどのビー玉も同じ確率で選ばれます。ヤコブ・ベルヌーイが1700年ごろにこのモデルを使って以来、ずっと標準的な例になっています。宝くじの抽選球を引く、トランプを配る、調査の対象者を選ぶ、製品のロットに不良品がないか検査するといったことは、どれも花瓶からビー玉を取り出すのと同じしくみです。
元に戻さない場合を一歩ずつ
赤いビー玉5個と青いビー玉4個、全部で9個が入った花瓶から、元に戻さずに2個取り出します。1個目が赤になる確率は5/9です。赤だったなら残りは8個で、そのうち4個が赤なので、2個目が赤になる確率は 4/8 = 1/2 です。2個とも赤になる確率は 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18 ≈ 27.8% です。
樹形図
樹形図は、取り出し方のすべての場合を描いたものです。出発点から赤へ向かう枝と青へ向かう枝が1本ずつ伸び、それぞれに確率5/9と4/9が書かれます。その先からさらに2本ずつ新しい枝が2個目のビー玉へ伸び、1個目のあとの確率が書かれます。赤のあとは4/8と4/8、青のあとは5/8と3/8です。各道筋の終点が葉です。道筋に沿って確率を掛けると、その道筋の確率が得られます：20/72、20/72、20/72、12/72。葉をすべて合わせると 72/72 = 1 になります。
道筋の足し算と余事象
問いに当てはまる葉が複数あるときは、その確率を足します。ちょうど1個が赤：赤青か青赤で、20/72 + 20/72 = 40/72 = 5/9。2個が同じ色：20/72 + 12/72 = 32/72 = 4/9。少なくとも1個が赤は、青青以外のすべてです：1 − 12/72 = 60/72 = 5/6。このように反対の場合を引く余事象の考え方は、しばしばいちばん早い方法です。
元に戻す場合
次を取り出す前に毎回ビー玉を戻せば、花瓶の中身は毎回同じで、取り出しは独立です。このとき2個とも赤になる確率は 5/9 × 5/9 = 25/81 ≈ 30.9% です。元に戻さない場合は、赤いビー玉を取り出すと赤が減るので、確率は小さくなります。大きな花瓶ではこの差はほとんどなくなります。だからこそ、人口が何百万人もいる国で1,000人を調べる調査では、どの回答も独立として扱えるのです。
組合せで数える
樹形図を描く代わりに数えることもできます。ビー玉2個の組は C(9, 2) = 36 通りあってどれも同様に確からしく、そのうち C(5, 2) = 10 通りが赤2個です。10/36 = 5/18 で、同じ答えになります。取り出す回数が多いときは、樹形図より数えるほうが早くなります。元に戻さずに n 回取り出して赤いビー玉がちょうど k 個になる確率は C(赤, k) × C(青, n − k) / C(全体, n) で、これが超幾何分布です。
PictorX で試す
「花瓶からビー玉を取り出す」を開くと、赤いビー玉5個と青いビー玉4個が入った花瓶が待っています。花瓶をクリックするとビー玉が1個取り出されます。ビー玉は花瓶から浮かび上がって皿に移り、残りのビー玉が落ち着き、メッセージが残りの個数といま赤が出る確率を教えてくれます。樹形図は通った枝を光らせ、すべての葉に積を表示します。問いに当てはまる葉には色がつき、その計算式が樹形図の下に表示されます。各色のビー玉を1〜10個、取り出す回数を2回か3回、元に戻すか戻さないか、そして5つの問いから1つを選べます。「自動で取り出す」は最大100,000回を毎秒最大10,000回の速さで行い、グラフには「はい」の割合が樹形図から求めた確率に落ち着いていく様子が表示されます。
よくある質問
「元に戻さない」とはどういう意味ですか？
取り出したビー玉を、次を取り出す前に戻さないということです。取り出すたびに花瓶の中のビー玉は1個ずつ減り、確率が変わります。
赤5個と青4個から赤いビー玉を2個取り出す確率は？
元に戻さない場合は 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18、約27.8%です。元に戻す場合は 5/9 × 5/9 = 25/81、約30.9%です。
なぜ樹形図の葉の確率を足すと1になるのですか？
どの回も、ちょうど1枚の葉で終わるからです。各分かれ目から出る枝の確率は、たとえば 4/8 + 4/8 のように足すと1になるので、道筋に沿って掛けると、全体の確率1が葉に分け与えられます。
2個を同時に取り出すのは、1個ずつ取り出すのと同じですか？
はい。2個をいっぺんにつかみ出しても、元に戻さずに1個ずつ取り出すのと確率は同じです。どちらが先に出たかがわからないだけです。
壺モデルは何に使われますか？
決まった集まりから無作為に選ぶあらゆる場面で使われます。宝くじ、トランプ、品質管理、世論調査、遺伝学などです。そこから導かれる超幾何分布は、統計学のフィッシャーの正確確率検定の土台にもなっています。
関連ツール
花瓶からビー玉を取り出す
見ないで花瓶からビー玉を取り出し、元に戻さずにもう1個。1回ごとの取り出しを樹形図でたどりましょう。2個とも赤になる確率は 5/9 × 4/8 = 5/18 です。そのあと、コンピューターに1,000回取り出させてみましょう。
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ブラウザで PictorX を開きます。インストール不要、始めるのにクレジットカードも不要です。
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