Tentang mengambil kelereng dari vas | Model guci dan diagram pohon

Model guci

Dalam teori peluang, sebuah vas, atau guci, berisi kelereng berbagai warna yang banyaknya diketahui. Anda mengambil satu kelereng atau lebih tanpa melihat, sehingga setiap kelereng yang masih ada di dalam vas berpeluang sama untuk terambil. Jacob Bernoulli menggunakan model ini sekitar tahun 1700, dan sejak itu model ini menjadi contoh baku: mengundi bola lotre, membagikan kartu, memilih responden survei, dan memeriksa cacat pada satu kumpulan produk semuanya bekerja seperti mengambil kelereng dari vas.

Tanpa pengembalian, langkah demi langkah

Ambil sebuah vas berisi 5 kelereng merah dan 4 kelereng biru, total 9, lalu ambil dua kelereng tanpa mengembalikannya. Kelereng pertama merah dengan peluang 5/9. Jika kelereng itu merah, tersisa 8 kelereng, 4 di antaranya merah, jadi kelereng kedua merah dengan peluang 4/8 = 1/2. Peluang keduanya merah adalah 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18 ≈ 27,8%.

Diagram pohon

Diagram pohon menggambarkan semua kemungkinan jalannya pengambilan. Dari titik awal, satu cabang menuju merah dan satu menuju biru, masing-masing diberi label peluangnya: 5/9 dan 4/9. Dari masing-masing cabang itu, dua cabang baru menuju kelereng kedua, dengan peluang yang berlaku setelah pengambilan pertama: 4/8 dan 4/8 setelah merah, 5/8 dan 3/8 setelah biru. Setiap jalur berakhir di sebuah daun. Kalikan peluang di sepanjang jalur untuk mendapatkan peluang jalur itu: 20/72, 20/72, 20/72, dan 12/72. Jumlah semua daun adalah 72/72 = 1.

Menjumlahkan jalur dan komplemen

Jika sebuah pertanyaan dijawab oleh beberapa daun, jumlahkan peluangnya. Tepat satu merah: merah-biru atau biru-merah, 20/72 + 20/72 = 40/72 = 5/9. Keduanya berwarna sama: 20/72 + 12/72 = 32/72 = 4/9. Paling sedikit satu merah adalah semuanya kecuali biru-biru: 1 − 12/72 = 60/72 = 5/6. Mengurangkan kebalikannya, yaitu aturan komplemen, sering kali merupakan cara tercepat.

Dengan pengembalian

Jika Anda mengembalikan setiap kelereng sebelum pengambilan berikutnya, isi vas selalu sama dan pengambilan-pengambilannya saling bebas. Peluang keduanya merah menjadi 5/9 × 5/9 = 25/81 ≈ 30,9%. Tanpa pengembalian, peluangnya lebih kecil, karena mengambil kelereng merah menyisakan lebih sedikit kelereng merah. Dalam vas yang besar, selisihnya hampir hilang. Itulah sebabnya survei terhadap 1.000 orang di negara berpenduduk jutaan jiwa dapat menganggap setiap jawaban saling bebas.

Menghitung dengan kombinasi

Anda juga bisa menghitung alih-alih menggambar pohon. Ada C(9, 2) = 36 pasangan kelereng yang sama peluangnya, dan C(5, 2) = 10 di antaranya adalah dua kelereng merah: 10/36 = 5/18, jawaban yang sama. Dengan lebih banyak pengambilan, menghitung lebih cepat daripada menggambar pohon: peluang mendapat tepat k kelereng merah dalam n pengambilan tanpa pengembalian adalah C(merah, k) × C(biru, n − k) / C(total, n), yaitu distribusi hipergeometrik.

Jelajahi di PictorX

Buka Kelereng dari vas dan sebuah vas berisi 5 kelereng merah dan 4 kelereng biru sudah menunggu. Klik vas untuk mengambil sebuah kelereng: kelereng terangkat keluar dari vas ke dalam mangkuk, kelereng yang tersisa turun ke tempatnya, dan pesan memberi tahu apa yang tersisa dan berapa peluang merah sekarang. Diagram pohon menyalakan cabang yang Anda lalui dan menampilkan hasil kali di setiap daun; daun-daun yang menjawab pertanyaan diberi arsiran, dan perhitungannya tertulis di bawah pohon. Pilih 1 sampai 10 kelereng untuk setiap warna, dua atau tiga pengambilan, dengan atau tanpa pengembalian, dan salah satu dari lima pertanyaan. Ambil otomatis menjalankan hingga 100.000 putaran dengan kecepatan hingga 10.000 per detik, dan grafik menunjukkan proporsi jawaban ya menetap di peluang dari diagram pohon.

Pertanyaan yang sering diajukan

Apa arti tanpa pengembalian?

Artinya kelereng yang sudah diambil tidak dikembalikan sebelum pengambilan berikutnya. Isi vas berkurang satu kelereng pada setiap pengambilan, dan peluangnya berubah.

Berapa peluang mendapat dua kelereng merah dari 5 merah dan 4 biru?

5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18, sekitar 27,8%, tanpa pengembalian. Dengan pengembalian, peluangnya 5/9 × 5/9 = 25/81, sekitar 30,9%.

Mengapa jumlah peluang semua daun diagram pohon sama dengan 1?

Karena setiap putaran berakhir di tepat satu daun. Cabang-cabang yang keluar dari setiap simpul berjumlah 1, misalnya 4/8 + 4/8, sehingga mengalikan di sepanjang jalur membagi seluruh peluang 1 ke semua daun.

Apakah mengambil dua kelereng sekaligus sama dengan mengambilnya satu per satu?

Ya. Mengambil dua kelereng sekaligus memberi peluang yang sama dengan mengambilnya satu per satu tanpa pengembalian; Anda hanya tidak tahu mana yang keluar lebih dulu.

Untuk apa model guci digunakan?

Untuk setiap situasi saat benda-benda dipilih secara acak dari suatu kelompok tetap: lotre, permainan kartu, pengendalian mutu, survei, dan genetika. Distribusi hipergeometrik yang diturunkan darinya juga menjadi dasar uji eksak Fisher dalam statistika.