Sobre tirar berlindes de um vaso | O modelo da urna e os diagramas de árvore

O modelo da urna

Em probabilidades, um vaso, ou urna, contém um número conhecido de berlindes de cores diferentes. Tira-se um ou mais sem olhar, de modo que cada berlinde que ainda está no vaso tem a mesma probabilidade de sair. Jakob Bernoulli usou este modelo por volta de 1700, e desde então é o exemplo de referência: tirar as bolas da lotaria, distribuir cartas, escolher pessoas para uma sondagem e verificar se um lote de produtos tem defeitos funcionam todos como tirar berlindes de um vaso.

Sem reposição, passo a passo

Considere um vaso com 5 berlindes vermelhos e 4 azuis, 9 no total, e tire dois sem os repor. O primeiro berlinde é vermelho com probabilidade 5/9. Se foi vermelho, restam 8 berlindes, 4 deles vermelhos, por isso o segundo é vermelho com probabilidade 4/8 = 1/2. A probabilidade de ambos serem vermelhos é 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18 ≈ 27,8%.

O diagrama de árvore

Um diagrama de árvore desenha todas as maneiras como as extrações podem decorrer. Do início, um ramo leva a vermelho e outro a azul, cada um com a sua probabilidade: 5/9 e 4/9. De cada um deles partem dois novos ramos para o segundo berlinde, com as probabilidades que valem depois do primeiro: 4/8 e 4/8 depois de vermelho, 5/8 e 3/8 depois de azul. Cada caminho termina numa folha. Multiplique as probabilidades ao longo de um caminho para obter a sua probabilidade: 20/72, 20/72, 20/72 e 12/72. Juntas, as folhas dão 72/72 = 1.

Somar caminhos e o acontecimento contrário

Quando uma pergunta é respondida por várias folhas, some as suas probabilidades. Exatamente um vermelho: vermelho-azul ou azul-vermelho, 20/72 + 20/72 = 40/72 = 5/9. Ambos da mesma cor: 20/72 + 12/72 = 32/72 = 4/9. Pelo menos um vermelho é tudo exceto azul-azul: 1 − 12/72 = 60/72 = 5/6. Subtrair o contrário, a regra do acontecimento contrário, é muitas vezes o caminho mais rápido.

Com reposição

Se repuser cada berlinde antes da extração seguinte, o vaso é sempre o mesmo e as extrações são independentes. A probabilidade de ambos serem vermelhos é então 5/9 × 5/9 = 25/81 ≈ 30,9%. Sem reposição a probabilidade é menor, porque tirar um berlinde vermelho deixa menos vermelhos. Num vaso grande a diferença quase desaparece, e é por isso que uma sondagem a 1000 pessoas num país de milhões pode tratar cada resposta como independente.

Contar com combinações

Também pode contar em vez de desenhar uma árvore. Há C(9, 2) = 36 pares de berlindes igualmente prováveis, e C(5, 2) = 10 deles são de dois vermelhos: 10/36 = 5/18, a mesma resposta. Com mais extrações, contar é mais rápido do que uma árvore: a probabilidade de exatamente k berlindes vermelhos em n extrações sem reposição é C(vermelhos, k) × C(azuis, n − k) / C(total, n), a distribuição hipergeométrica.

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Abra Berlindes de um vaso e encontra à sua espera um vaso com 5 berlindes vermelhos e 4 azuis. Clique nele para tirar um berlinde: sobe do vaso para uma taça, os que restam assentam, e a mensagem diz-lhe o que fica e qual é agora a probabilidade de sair vermelho. O diagrama de árvore ilumina o ramo que seguiu e mostra o produto em cada folha; as folhas que respondem à pergunta ficam sombreadas, e o seu cálculo aparece por baixo da árvore. Escolha de 1 a 10 berlindes de cada cor, duas ou três extrações, com ou sem reposição, e uma de cinco perguntas. «Tirar automaticamente» faz até 100 000 rondas, a até 10 000 por segundo, e o gráfico mostra a proporção de «sim» a estabilizar na probabilidade dada pela árvore.

Perguntas frequentes

O que significa sem reposição?

Que um berlinde que tirou não é reposto antes da extração seguinte. O vaso fica com menos um berlinde a cada extração, e as probabilidades mudam.

Qual é a probabilidade de dois berlindes vermelhos de 5 vermelhos e 4 azuis?

5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18, cerca de 27,8%, sem reposição. Com reposição é 5/9 × 5/9 = 25/81, cerca de 30,9%.

Porque é que as folhas de um diagrama de árvore somam 1?

Porque cada ronda termina exatamente numa folha. Os ramos que saem de cada nó somam 1, por exemplo 4/8 + 4/8, por isso multiplicar ao longo dos caminhos reparte a probabilidade total de 1 pelas folhas.

Tirar dois berlindes de uma vez é o mesmo que um a seguir ao outro?

Sim. Agarrar dois berlindes de uma vez dá as mesmas probabilidades que tirá-los um a seguir ao outro sem reposição; só não sabe qual saiu primeiro.

Para que serve o modelo da urna?

Para qualquer situação em que se escolhem elementos ao acaso de um grupo fixo: lotarias, jogos de cartas, controlo de qualidade, sondagens e genética. A distribuição hipergeométrica que dele resulta é também a base do teste exato de Fisher em estatística.