Извлечение шариков из вазы
Ваза с разноцветными шариками — классическая модель случайности в школьной математике. Она превращает любой вопрос о вытягивании, выборе или выборке в картинку, которую можно посчитать.
Урновая схема
В теории вероятностей ваза, или урна, содержит известное число шариков разных цветов. Вы вынимаете один или несколько не глядя, поэтому у каждого шарика, ещё оставшегося в вазе, одинаковые шансы быть вынутым. Якоб Бернулли пользовался этой моделью около 1700 года, и с тех пор она остаётся стандартным примером: розыгрыш лотерейных шаров, раздача карт, отбор людей для опроса и проверка партии изделий на брак — всё это устроено как извлечение шариков из вазы.
Без возвращения, шаг за шагом
Возьмём вазу с 5 красными и 4 синими шариками, всего 9, и вынем два, не возвращая их. Первый шарик красный с вероятностью 5/9. Если он был красным, остаётся 8 шариков, из них 4 красных, так что второй красный с вероятностью 4/8 = 1/2. Вероятность, что оба красные, равна 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18 ≈ 27,8 %.
Дерево вероятностей
Дерево вероятностей изображает все возможные исходы извлечений. Из начальной точки одна ветвь ведёт к красному, другая к синему, и на каждой подписана её вероятность: 5/9 и 4/9. Из каждой из них две новые ветви ведут ко второму шарику, с вероятностями, которые действуют после первого: 4/8 и 4/8 после красного, 5/8 и 3/8 после синего. Каждый путь заканчивается листом. Перемножьте вероятности вдоль пути, чтобы получить его вероятность: 20/72, 20/72, 20/72 и 12/72. Вместе листья дают 72/72 = 1.
Сложение путей и противоположное событие
Если на вопрос отвечают несколько листьев, сложите их вероятности. Ровно один красный: красный-синий или синий-красный, 20/72 + 20/72 = 40/72 = 5/9. Оба одного цвета: 20/72 + 12/72 = 32/72 = 4/9. Хотя бы один красный — это всё, кроме пути синий-синий: 1 − 12/72 = 60/72 = 5/6. Вычесть вероятность противоположного события часто оказывается самым быстрым способом.
С возвращением
Если перед следующим извлечением возвращать каждый шарик, ваза каждый раз одна и та же, и извлечения независимы. Тогда оба шарика красные с вероятностью 5/9 × 5/9 = 25/81 ≈ 30,9 %. Без возвращения вероятность меньше, потому что после извлечения красного шарика красных остаётся меньше. В большой вазе разница почти исчезает, поэтому в опросе 1000 человек из многомиллионной страны каждый ответ можно считать независимым.
Подсчёт через сочетания
Вместо того чтобы строить дерево, можно посчитать. Существует C(9, 2) = 36 равновероятных пар шариков, и в C(5, 2) = 10 из них оба шарика красные: 10/36 = 5/18, тот же ответ. При большем числе извлечений считать быстрее, чем строить дерево: вероятность вынуть ровно k красных шариков за n извлечений без возвращения равна C(красные, k) × C(синие, n − k) / C(всего, n) — это гипергеометрическое распределение.
Исследуйте в PictorX
Откройте «Шарики из вазы», и вас ждёт ваза с 5 красными и 4 синими шариками. Нажмите на неё, чтобы вынуть шарик: он поднимается из вазы в мисочку, оставшиеся шарики оседают, а сообщение говорит, что осталось и какова теперь вероятность красного. Дерево вероятностей подсвечивает пройденную ветвь и показывает произведение у каждого листа; листья, которые отвечают на вопрос, закрашены, а их вычисление стоит под деревом. Выберите от 1 до 10 шариков каждого цвета, два или три извлечения, с возвращением или без, и один из пяти вопросов. «Вынимать автоматически» проводит до 100 000 раундов со скоростью до 10 000 в секунду, а график показывает, как доля ответов «да» приближается к вероятности из дерева.
Часто задаваемые вопросы
Что значит «без возвращения»?
Что вынутый шарик не возвращают в вазу перед следующим извлечением. С каждым извлечением шариков в вазе становится на один меньше, и вероятности меняются.
Какова вероятность вынуть два красных шарика из 5 красных и 4 синих?
5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18, около 27,8 %, без возвращения. С возвращением — 5/9 × 5/9 = 25/81, около 30,9 %.
Почему листья дерева вероятностей в сумме дают 1?
Потому что каждый раунд заканчивается ровно в одном листе. Ветви, выходящие из каждого узла, в сумме дают 1, например 4/8 + 4/8, поэтому умножение вдоль путей распределяет всю вероятность 1 между листьями.
Вынуть два шарика сразу — то же самое, что вынимать их по одному?
Да. Если взять два шарика сразу, вероятности будут те же, что при извлечении по одному без возвращения; вы просто не знаете, какой шарик был первым.
Где применяется урновая схема?
В любой ситуации, когда предметы случайно выбирают из фиксированной группы: в лотереях, карточных играх, контроле качества, опросах и генетике. Вытекающее из неё гипергеометрическое распределение лежит также в основе точного теста Фишера в статистике.
Сопутствующие инструменты
Шарики из вазы
Вынимайте шарики из вазы не глядя и не возвращая их обратно. Следите за каждым извлечением на дереве вероятностей: 5/9 × 4/8 = 5/18 для двух красных шариков. А потом пусть компьютер проведёт 1000 раундов.
Броски кубиков
Бросьте один, два или три кубика тысячу раз и сравните столбчатую диаграмму того, как часто выпадал каждый результат, с ожидаемыми частотами. Узнайте, почему 7 — самая частая сумма.
Вероятности при бросании кубиков
Вероятности при бросании кубиков: почему у каждой грани шанс 1/6, как сосчитать способы выбросить сумму, ожидаемые и наблюдаемые частоты, колоколообразная кривая для многих кубиков и критерий хи-квадрат для проверки честности кубика.
Парадокс Монти Холла
Парадокс Монти Холла на практике: выберите одну из трёх дверей, посмотрите, как Монти открывает другую, с козой, и решите, остаться или сменить. Играйте сами или дайте компьютеру сыграть 1000 игр и убедитесь, что смена выигрывает в двух случаях из трёх.
Парадокс Монти Холла
Парадокс Монти Холла простыми словами: почему смена выигрывает в 2/3 случаев, таблица всех вариантов, теорема Байеса, версия с множеством дверей, ведущий, который не знает, и спор 1990 года.
Доска Гальтона
Бросайте шары сквозь ряды штырьков и смотрите, как ячейки заполняются по колоколообразной кривой. Меняйте число рядов, смещение и число шаров и сравнивайте среднее и разброс с теорией.
Готовы попробовать?
Откройте PictorX в своем браузере — установка не требуется, для запуска не требуется кредитная карта.
Вынуть шарики из вазы