关于最速降线 | 最快下降的曲线

取两个点：A，以及一个更低、但不在它正下方的点 B。两点之间哪条轨道能让球用最短的时间从 A 到达 B？球从静止出发，受重力牵引，此外没有任何作用：没有摩擦，也没有空气。

直线是最短的路，但球在上面加速很慢。先陡降的轨道让球很早就快起来，并在剩下的路程中保持这个速度。以更高的速度走更长的路，用时反而可能更少。最好的轨道是长度与速度之间的平衡。

1638 年，伽利略证明球沿圆弧下滑比沿直的弦更快。他猜想圆是所有轨道中最快的。圆确实快，但不是最快的。比赛里放上圆，是为了让你看到它跑得很接近，却还是输了。

1696 年，约翰·伯努利向欧洲的数学家发起挑战，要他们找出这条曲线。他的哥哥雅各布、莱布尼茨、洛必达和牛顿都寄来了解答。牛顿的解答寄到时没有署名，据说伯努利认出了他，就像凭爪子认出狮子。这个问题促成了变分法的诞生，变分法就是寻找最佳曲线的数学。

让一个轮子沿直线滚动，盯住轮缘上的一点。它画出一串拱形：摆线。把其中一个拱倒过来，让它从 A 开始，就是最速降线。约翰·伯努利把下落的球当作一束光来处理，而光总是走用时最短的路径，他就这样找到了它。

如果 B 在很远的侧面，又不太深，最快的轨道会先降到 B 以下，再爬回到 B。下得更深换来的速度，抵消爬升的代价还绰绰有余。试试收藏里的“平缓终点”：摆线上的球落到通往 B 的直线下方很远，却仍然第一个到达。

摆线还有第二件礼物。在摆线形状的碗里，从任何高度放开的球，到达底部所用的时间都相同：π√(a/g)，其中 a 是滚动轮子的半径。克里斯蒂安·惠更斯在 1659 年发现了这一点，并用它设计出无论摆幅多大都能准确计时的摆钟。在圆形碗里，从更高处放开的球到得更晚。

打开最速降线竞速，五个球一起从 A 出发。圆点显示每个球每隔十分之一秒所在的位置。拖动 B 来移动终点，或在画面上画出你自己的轨道。把模式设为摆线碗或圆形碗，比较这两种碗。球无摩擦地滑动。真实滚动的球都会按同样的倍数变慢，所以名次不变。

常见问题

Brachistochrone（最速降线）是什么意思？

这是希腊语：brachistos 意为“最短”，chronos 意为“时间”。最速降线就是下降最快的曲线。

最速降线是最短的路径吗？

不是。最短的路径是直线。最速降线更长，但球沿着它跑得更快，所以到得更早。

最速降线和等时曲线有什么区别？

两者都是摆线。最速降线是两点之间最快的轨道。等时曲线是一种碗：球从任何起始高度出发，都用同样的时间到达底部。

摩擦会改变答案吗？

会，但只改变一点。有摩擦时，最快的轨道不再是严格的摆线，不过看起来和摆线很像。和经典问题一样，这个比赛不考虑摩擦。

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