ゴルトンボードについて | 偶然、パスカルの三角形、ベルカーブ

フランシス・ゴルトンの装置

遺伝と統計に情熱を注いだヴィクトリア朝の科学者フランシス・ゴルトンは、1870年代に最初のボードを作りました。1889年には著書『自然的遺伝』（Natural Inheritance）でこれを紹介しています。彼はこれをクインカンクスと呼びました。サイコロの五の目の5つの点の並びにちなんだ名前で、互い違いに並んだ釘はその並びを繰り返しています。

1回ずつ跳ね返る

どの釘でも、球はコイン投げのように、同じ確率で左か右へ進みます。n 段を通り抜けると、こうした選択を n 回したことになります。入る箱は、右へ進んだ回数で決まります。順番は関係ありません。右のあと左でも、左のあと右でも、同じ場所に着きます。

パスカルの三角形で道すじを数える

いちばん上の釘に1と書きます。ほかの釘には、そのすぐ上にある2つの数の和を書きます。これがパスカルの三角形で、どの数もその釘に届く道すじの数を表しています。最後の段は、各箱へ入る道すじの数です。12段なら1、12、66、220、495、792、924と増え、そこから逆の順に減っていきます。

二項分布

ある箱へ入る道すじの数を、全部で 2ⁿ 本ある道すじの数で割ると、その箱に入る確率になります。これが二項分布です。公平なボードでは、平均は n/2、標準偏差は √n/2 です。偏りが p のときは、平均が n·p、ばらつきが √(n·p·(1−p)) になります。

箱からベルカーブへ

段数が増えるにつれて、二項分布の棒はなめらかな正規分布の曲線、つまりベルカーブを描き出します。アブラーム・ド・モアブルが1733年にこれを示しました。これは中心極限定理の最初の例の一つです。小さく独立したランダムな歩みをたくさん足し合わせると、その合計はベルカーブに従います。

箱がぴったりにならない理由

球の1つ1つはランダムなので、箱は理論上の高さのまわりにばらつきます。約 N 個の球が入るはずの箱は、たいてい √N 個ほどずれます。100個落とすと形はまだ粗く、5000個落とすと曲線にぴったり沿います。

ゴルトンと平均への回帰

ゴルトンは遺伝の研究にこのボードを使いました。彼は、とても背の高い両親の子どもは背が高い傾向があるものの、平均に近づくことに気づきました。彼はこれを平均への回帰と呼びました。この考え方は今では統計学のあらゆる場面で使われています。

PictorX で試す

ゴルトンボードを開くと、すぐに球が落ち始めます。段数は跳ね返りの回数を、球は落ちる球の数を、偏りは右へ進む確率を決めます。ベルカーブは理論上の高さを示し、箱の下の数字は球の数を数えます。パスカルの三角形をオンにして道すじを見て、その後 PNG を保存します。

よくある質問

ゴルトンボードを発明したのは誰ですか？

フランシス・ゴルトンが1870年代に作り、1889年に著書『自然的遺伝』（Natural Inheritance）で紹介しました。

二項分布と正規分布の違いは何ですか？

二項分布は、決まった回数の「はい／いいえ」の試行で成功が何回あったかを数えます。ボードでの右への跳ね返りがその例です。正規分布は、試行の回数が多いときに二項分布が近づいていく、なめらかなベルカーブです。

なぜクインカンクスと呼ばれるのですか？

クインカンクスとは、サイコロの五の目の5つの点の並びのことです。四隅に4つ、真ん中に1つです。互い違いに並んだ釘の段は、この並びを繰り返しています。

本物のゴルトンボードは完璧なベルカーブになりますか？

完全にはなりません。本物の球はぶつかり合い、一度に1段より先まで跳ねることもあるので、釣り鐘が少し広がります。このシミュレーションの跳ね返りは、理想的なボードと同じく互いに独立しています。

関連ツール

試してみますか？

ブラウザで PictorX を開きます。インストール不要、始めるのにクレジットカードも不要です。

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