О доске Гальтона | Случайность, треугольник Паскаля и колоколообразная кривая

Машина Фрэнсиса Гальтона

Фрэнсис Гальтон, викторианский учёный, увлечённый наследственностью и статистикой, построил первую доску в 1870-х годах. Он описал её в 1889 году в книге «Естественная наследственность» (Natural Inheritance). Он назвал её квинкунксом — по узору из пяти точек на игральной кости, который повторяют штырьки, расставленные в шахматном порядке.

Отскок за отскоком

На каждом штырьке шар с равной вероятностью уходит влево или вправо, как при подбрасывании монеты. Пройдя n рядов, он делает n таких выборов. Его ячейка — это число отскоков вправо. Порядок не важен: «вправо, потом влево» приводит туда же, куда «влево, потом вправо».

Треугольник Паскаля считает пути

Напишите 1 у верхнего штырька. У каждого следующего штырька сложите два числа над ним. Это треугольник Паскаля, и каждое его число — количество путей, ведущих к этому штырьку. Последний ряд даёт число путей в каждую ячейку. Для 12 рядов это 1, 12, 66, 220, 495, 792, 924 и снова по убыванию.

Биномиальное распределение

Разделите число путей в ячейку на число всех путей 2ⁿ — и вы получите вероятность попасть туда. Это биномиальное распределение. На честной доске среднее равно n/2, а стандартное отклонение — √n/2. При смещении p среднее становится n·p, а разброс — √(n·p·(1−p)).

От ячеек к колоколообразной кривой

С ростом числа рядов столбцы биномиального распределения вырисовывают плавную нормальную кривую — колоколообразную кривую. Абрахам де Муавр показал это в 1733 году. Это один из первых случаев центральной предельной теоремы: сложите много малых независимых случайных шагов, и сумма распределится по колоколообразной кривой.

Почему ячейки никогда не совпадают точно

Каждый шар случаен, поэтому высоты ячеек разбросаны вокруг ожидаемых. Ячейка, в которой должно быть около N шаров, обычно отклоняется примерно на √N. Бросьте 100 шаров — и форма получится грубой. Бросьте 5000 — и она плотно ляжет на кривую.

Гальтон и регрессия к среднему

Гальтон использовал доску в своих работах о наследственности. Он заметил, что у очень высоких родителей дети обычно тоже высокие, но ближе к среднему. Он назвал это регрессией к среднему — сегодня эта идея используется во всей статистике.

Попробуйте в PictorX

Откройте доску Гальтона, и шары сразу начнут падать. Ряды задают число отскоков, Шары — сколько шаров упадёт, а Смещение — вероятность уйти вправо. Колоколообразная кривая показывает ожидаемые высоты, а числа под ячейками считают шары. Включите Треугольник Паскаля, чтобы увидеть пути, затем сохраните PNG.

Часто задаваемые вопросы

Кто изобрёл доску Гальтона?

Фрэнсис Гальтон построил её в 1870-х годах и описал в 1889 году в книге «Естественная наследственность» (Natural Inheritance).

Чем биномиальное распределение отличается от нормального?

Биномиальное распределение считает успехи в фиксированном числе испытаний с ответом «да» или «нет», например отскоки вправо на доске. Нормальное распределение — это плавная колоколообразная кривая, к которой оно приближается, когда число испытаний велико.

Почему её называют квинкунксом?

Квинкункс — это узор из пяти точек на игральной кости: четыре по углам и одна в центре. Ряды штырьков, расставленных в шахматном порядке, повторяют этот узор.

Даёт ли настоящая доска Гальтона идеальную колоколообразную кривую?

Не совсем. Настоящие шары сталкиваются друг с другом и могут отскочить больше чем на один шаг за раз, из-за чего колокол становится немного шире. Отскоки в этой симуляции независимы, как на идеальной доске.