Tentang papan Galton | Peluang, segitiga Pascal, dan kurva lonceng

Mesin Francis Galton

Francis Galton, ilmuwan era Victoria yang sangat tertarik pada pewarisan sifat dan statistik, membuat papan pertama pada tahun 1870-an. Ia menjelaskannya dalam bukunya Pewarisan Alami (Natural Inheritance) pada tahun 1889. Ia menyebutnya quincunx, dari pola lima titik pada dadu, yang diulang oleh pasak-pasak yang tersusun berselang-seling.

Pantulan demi pantulan

Di setiap pasak, bola pergi ke kiri atau ke kanan dengan peluang yang sama, seperti lemparan koin. Setelah n baris, bola telah membuat n pilihan seperti itu. Wadahnya adalah jumlah kali bola itu pergi ke kanan. Urutannya tidak berpengaruh: kanan lalu kiri berakhir di tempat yang sama dengan kiri lalu kanan.

Segitiga Pascal menghitung lintasan

Tulis 1 di pasak paling atas. Di setiap pasak lainnya, jumlahkan dua angka di atasnya. Itulah segitiga Pascal, dan setiap angka menghitung lintasan yang mencapai pasak itu. Baris terakhir memberi jumlah lintasan ke setiap wadah. Untuk 12 baris, urutannya 1, 12, 66, 220, 495, 792, 924, lalu turun kembali.

Distribusi binomial

Bagi jumlah lintasan ke sebuah wadah dengan seluruh 2ⁿ lintasan, dan Anda mendapat peluang bola mendarat di sana. Itulah distribusi binomial. Pada papan yang seimbang, rata-ratanya n/2 dan simpangan bakunya √n/2. Dengan kecondongan p, rata-ratanya menjadi n·p dan sebarannya √(n·p·(1−p)).

Dari wadah ke kurva lonceng

Makin banyak barisnya, batang-batang distribusi binomial makin membentuk kurva normal yang mulus, yaitu kurva lonceng. Abraham de Moivre menunjukkan hal ini pada tahun 1733. Ini adalah kasus pertama teorema limit pusat: jumlahkan banyak langkah acak kecil yang saling bebas, dan totalnya mengikuti kurva lonceng.

Mengapa wadah tidak pernah tepat

Setiap bola acak, jadi isi wadah tersebar di sekitar tinggi harapannya. Wadah yang seharusnya berisi sekitar N bola biasanya meleset sekitar √N. Jatuhkan 100 bola dan bentuknya masih kasar. Jatuhkan 5000 dan bentuknya menempel pada kurva.

Galton dan regresi menuju rata-rata

Galton menggunakan papan ini dalam penelitiannya tentang pewarisan sifat. Ia memperhatikan bahwa orang tua yang sangat tinggi cenderung memiliki anak yang tinggi, tetapi lebih dekat ke rata-rata. Ia menyebut ini regresi menuju rata-rata, sebuah gagasan yang kini dipakai di seluruh statistik.

Coba di PictorX

Buka papan Galton dan bola-bola langsung mulai berjatuhan. Baris mengatur jumlah pantulan, Bola menentukan berapa banyak bola yang jatuh, dan Kecondongan menentukan peluang bola ke kanan. Kurva lonceng menunjukkan tinggi harapan, dan angka di bawah wadah menghitung bola. Nyalakan Segitiga Pascal untuk melihat lintasan, lalu simpan PNG.

Pertanyaan yang sering diajukan

Siapa penemu papan Galton?

Francis Galton membuatnya pada tahun 1870-an dan menjelaskannya pada tahun 1889 dalam bukunya Pewarisan Alami (Natural Inheritance).

Apa perbedaan antara distribusi binomial dan distribusi normal?

Distribusi binomial menghitung jumlah keberhasilan dalam sejumlah tetap percobaan ya-atau-tidak, seperti pantulan ke kanan pada papan. Distribusi normal adalah kurva lonceng mulus yang didekatinya ketika jumlah percobaan besar.

Mengapa disebut quincunx?

Quincunx adalah pola lima titik pada dadu: empat di sudut dan satu di tengah. Baris-baris pasak yang tersusun berselang-seling mengulang pola itu.

Apakah papan Galton sungguhan menghasilkan kurva lonceng yang sempurna?

Tidak sepenuhnya. Bola sungguhan saling bertabrakan dan bisa memantul lebih dari satu langkah sekaligus, yang membuat lonceng sedikit lebih lebar. Pantulan dalam simulasi ini saling bebas, seperti pada papan ideal.