Về bảng Galton | Ngẫu nhiên, tam giác Pascal và đường cong hình chuông

Cỗ máy của Francis Galton

Francis Galton, một nhà khoa học thời Victoria say mê di truyền và thống kê, đã làm ra tấm bảng đầu tiên vào những năm 1870. Ông mô tả nó trong cuốn sách Di truyền tự nhiên (Natural Inheritance) năm 1889. Ông gọi nó là quincunx, theo mẫu năm chấm trên mặt xúc xắc, mẫu mà các hàng đinh so le lặp lại.

Từng lần nảy một

Tại mỗi đinh, bi đi sang trái hoặc sang phải với khả năng như nhau, giống như tung đồng xu. Sau n hàng, nó đã thực hiện n lựa chọn như vậy. Ngăn của nó là số lần nó đi sang phải. Thứ tự không quan trọng: phải rồi trái kết thúc ở cùng chỗ với trái rồi phải.

Tam giác Pascal đếm các đường đi

Viết 1 ở đinh trên cùng. Tại mỗi đinh khác, cộng hai số ở phía trên nó. Đó là tam giác Pascal, và mỗi số đếm các đường đi tới đinh đó. Hàng cuối cùng cho số đường đi vào mỗi ngăn. Với 12 hàng, dãy số là 1, 12, 66, 220, 495, 792, 924 rồi giảm dần trở lại.

Phân phối nhị thức

Chia số đường đi vào một ngăn cho tổng cộng 2ⁿ đường đi, bạn có xác suất rơi vào ngăn đó. Đó là phân phối nhị thức. Trên một bảng công bằng, trung bình là n/2 và độ lệch chuẩn là √n/2. Với thiên lệch p, trung bình trở thành n·p và độ phân tán là √(n·p·(1−p)).

Từ các ngăn đến đường cong hình chuông

Khi số hàng tăng lên, các cột của phân phối nhị thức vạch ra đường cong chuẩn trơn tru, tức đường cong hình chuông. Abraham de Moivre đã chỉ ra điều này năm 1733. Đây là trường hợp đầu tiên của định lý giới hạn trung tâm: cộng nhiều bước ngẫu nhiên nhỏ và độc lập lại với nhau, tổng sẽ tuân theo một đường cong hình chuông.

Vì sao các ngăn không bao giờ chính xác

Mỗi viên bi là ngẫu nhiên, nên các ngăn phân tán quanh chiều cao kỳ vọng của chúng. Một ngăn lẽ ra chứa khoảng N bi thường lệch khoảng √N. Thả 100 bi thì hình dạng còn thô. Thả 5000 thì nó bám sát đường cong.

Galton và hồi quy về giá trị trung bình

Galton dùng tấm bảng trong công trình nghiên cứu về di truyền. Ông nhận thấy cha mẹ rất cao thường có con cao, nhưng gần mức trung bình hơn. Ông gọi đó là hồi quy về giá trị trung bình, một ý tưởng nay được dùng khắp ngành thống kê.

Thử trong PictorX

Mở bảng Galton và bi bắt đầu rơi ngay. Số hàng quyết định số lần nảy, Số bi là số viên bi rơi, và Thiên lệch là xác suất đi sang phải. Đường cong hình chuông cho thấy chiều cao kỳ vọng, và các số dưới các ngăn đếm số bi. Bật Tam giác Pascal để xem các đường đi, rồi lưu PNG.

Hỏi thường xuyên

Ai đã phát minh ra bảng Galton?

Francis Galton làm ra nó vào những năm 1870 và mô tả nó năm 1889 trong cuốn sách Di truyền tự nhiên (Natural Inheritance).

Phân phối nhị thức và phân phối chuẩn khác nhau thế nào?

Phân phối nhị thức đếm số lần thành công trong một số cố định các phép thử có-hoặc-không, như các lần nảy sang phải trên bảng. Phân phối chuẩn là đường cong hình chuông trơn tru mà nó tiến gần tới khi số phép thử lớn.

Vì sao lại gọi là quincunx?

Quincunx là mẫu năm chấm trên mặt xúc xắc: bốn chấm ở các góc và một chấm ở giữa. Các hàng đinh so le lặp lại mẫu đó.

Bảng Galton thật có cho đường cong hình chuông hoàn hảo không?

Không hẳn. Bi thật va vào nhau và có thể nảy nhiều hơn một bước một lúc, làm quả chuông rộng ra một chút. Các lần nảy trong mô phỏng này là độc lập, như trên một bảng lý tưởng.