O desce Galtona | Przypadek, trójkąt Pascala i krzywa dzwonowa

Maszyna Francisa Galtona

Francis Galton, wiktoriański uczony, pasjonat dziedziczności i statystyki, zbudował pierwszą deskę w latach 70. XIX wieku. Opisał ją w 1889 roku w swojej książce Natural Inheritance. Nazwał ją kwinkunksem, od układu pięciu oczek na kostce do gry, który powtarzają przesunięte względem siebie kołki.

Odbicie po odbiciu

Na każdym kołku kula idzie w lewo albo w prawo z jednakową szansą, jak przy rzucie monetą. Po n rzędach dokonała n takich wyborów. O jej przegródce decyduje to, ile razy poszła w prawo. Kolejność nie ma znaczenia: najpierw w prawo, potem w lewo prowadzi w to samo miejsce co najpierw w lewo, potem w prawo.

Trójkąt Pascala liczy drogi

Wpisz 1 przy najwyższym kołku. Przy każdym pozostałym kołku dodaj dwie liczby nad nim. To jest trójkąt Pascala, a każda liczba mówi, ile dróg dociera do danego kołka. Ostatni rząd podaje liczbę dróg do każdej przegródki. Przy 12 rzędach wygląda on tak: 1, 12, 66, 220, 495, 792, 924 i z powrotem w dół.

Rozkład dwumianowy

Podziel liczbę dróg do przegródki przez liczbę wszystkich 2ⁿ dróg, a otrzymasz szansę, że kula tam trafi. To jest rozkład dwumianowy. Na uczciwej desce średnia wynosi n/2, a odchylenie standardowe √n/2. Przy przechyle p średnia wynosi n·p, a rozrzut √(n·p·(1−p)).

Od przegródek do krzywej dzwonowej

Gdy rzędów przybywa, słupki rozkładu dwumianowego układają się w gładką krzywą rozkładu normalnego, czyli krzywą dzwonową. Abraham de Moivre pokazał to w 1733 roku. To pierwszy przypadek centralnego twierdzenia granicznego: zsumuj wiele małych, niezależnych, losowych kroków, a suma ułoży się w krzywą dzwonową.

Dlaczego przegródki nigdy nie są dokładne

Każda kula jest losowa, więc przegródki wahają się wokół swoich oczekiwanych wysokości. Przegródka, w której powinno być około N kul, zwykle odbiega od tego o około √N. Puść 100 kul, a kształt będzie nierówny. Puść 5000, a przylgnie do krzywej.

Galton i regresja do średniej

Galton używał deski w swoich badaniach nad dziedzicznością. Zauważył, że bardzo wysocy rodzice mają zwykle dzieci, które są wysokie, ale bliższe przeciętnej. Nazwał to regresją do średniej, a pojęcie to jest dziś używane w całej statystyce.

Wypróbuj to w PictorX

Otwórz Deskę Galtona, a kule od razu zaczną spadać. Rzędy ustalają liczbę odbić, Kule to, ile kul spada, a Przechył szansę na odbicie w prawo. Krzywa dzwonowa pokazuje oczekiwane wysokości, a liczby pod przegródkami liczą kule. Włącz Trójkąt Pascala, żeby zobaczyć drogi, a potem zapisz PNG.

Często zadawane pytania

Kto wynalazł deskę Galtona?

Francis Galton zbudował ją w latach 70. XIX wieku i opisał w 1889 roku w swojej książce Natural Inheritance.

Czym różni się rozkład dwumianowy od rozkładu normalnego?

Rozkład dwumianowy liczy sukcesy w ustalonej liczbie prób typu tak albo nie, jak odbicia w prawo na desce. Rozkład normalny to gładka krzywa dzwonowa, do której zbliża się on, gdy liczba prób jest duża.

Dlaczego nazywa się ją kwinkunksem?

Kwinkunks to układ pięciu oczek na kostce do gry: cztery w rogach i jedno pośrodku. Przesunięte względem siebie rzędy kołków powtarzają ten układ.

Czy prawdziwa deska Galtona daje idealną krzywą dzwonową?

Niezupełnie. Prawdziwe kule zderzają się ze sobą i mogą odskoczyć o więcej niż jeden krok naraz, co trochę poszerza dzwon. Odbicia w tej symulacji są niezależne, jak na idealnej desce.