Galton tahtası
Galton tahtası, sıra sıra çivileri ve altta bir sıra bölmesi olan bir tahtadır. Üstten bırakılan toplar her çivide sola ya da sağa seker. Tek bir topun nereye düşeceği önceden bilinemez, ama bin top her zaman aynı biçimde yığılır: bir çan eğrisi.
Francis Galton’ın makinesi
Kalıtıma ve istatistiğe tutkuyla bağlı bir Viktorya dönemi bilim insanı olan Francis Galton, ilk tahtayı 1870’lerde yaptı. Onu 1889’da Natural Inheritance adlı kitabında anlattı. Tahtaya quincunx adını verdi; bu ad, zardaki beş noktanın deseninden gelir ve şaşırtmalı dizilmiş çiviler bu deseni tekrarlar.
Her seferinde bir sekme
Her çivide top, yazı tura atar gibi eşit olasılıkla sola ya da sağa gider. n sıradan sonra bu türden n seçim yapmış olur. Düştüğü bölme, kaç kez sağa gittiğidir. Sıra önemli değildir: önce sağ sonra sol, önce sol sonra sağ ile aynı yere varır.
Pascal üçgeni yolları sayar
En üstteki çiviye 1 yazın. Diğer her çivide, hemen üstündeki iki sayıyı toplayın. Bu Pascal üçgenidir ve her sayı o çiviye ulaşan yolları sayar. Son sıra, her bölmeye giden yolları verir. 12 sıra için 1, 12, 66, 220, 495, 792, 924 diye gider ve sonra geri iner.
Binom dağılımı
Bir bölmeye giden yolların sayısını tüm 2ⁿ yola bölün; topun oraya düşme olasılığını elde edersiniz. Bu, binom dağılımıdır. Adil bir tahtada ortalama n/2, standart sapma √n/2’dir. Eğilim p olduğunda ortalama n·p, yayılım √(n·p·(1−p)) olur.
Bölmelerden çan eğrisine
Sıra sayısı arttıkça binom dağılımının çubukları pürüzsüz normal eğriyi, yani çan eğrisini çizer. Abraham de Moivre bunu 1733’te gösterdi. Bu, merkezi limit teoreminin ilk örneklerinden biridir: çok sayıda küçük, bağımsız rastgele adımı toplayın; toplam bir çan eğrisi izler.
Bölmeler neden hiçbir zaman tam değildir
Her top rastgele olduğundan bölmeler beklenen yüksekliklerinin çevresinde dağılır. Yaklaşık N top alması gereken bir bölme genellikle yaklaşık √N kadar şaşar. 100 top bırakın, biçim kabadır. 5000 top bırakın, eğriye sıkıca oturur.
Galton ve ortalamaya dönüş
Galton tahtayı kalıtım üzerine çalışmalarında kullandı. Çok uzun boylu ebeveynlerin çocuklarının genellikle uzun boylu olduğunu, ama ortalamaya daha yakın olduğunu fark etti. Buna ortalamaya dönüş adını verdi; bu fikir bugün istatistiğin her alanında kullanılır.
PictorX’te deneyin
Galton tahtasını açın, toplar hemen düşmeye başlar. Sıralar sekme sayısını, Toplar kaç topun düşeceğini, Eğilim ise sağa gitme olasılığını belirler. Çan eğrisi beklenen yükseklikleri gösterir, bölmelerin altındaki sayılar da topları sayar. Yolları görmek için Pascal üçgenini açın, sonra bir PNG kaydedin.
Sık sorulan sorular
Galton tahtasını kim icat etti?
Francis Galton onu 1870’lerde yaptı ve 1889’da Natural Inheritance adlı kitabında anlattı.
Binom dağılımı ile normal dağılım arasındaki fark nedir?
Binom dağılımı, belirli sayıdaki evet-hayır denemesindeki başarıları sayar; tıpkı bir tahtadaki sağa sekmeler gibi. Normal dağılım ise deneme sayısı büyük olduğunda binom dağılımının yaklaştığı pürüzsüz çan eğrisidir.
Neden quincunx denir?
Quincunx, zardaki beş noktanın desenidir: dördü köşelerde, biri ortada. Şaşırtmalı çivi sıraları bu deseni tekrarlar.
Gerçek bir Galton tahtası kusursuz bir çan eğrisi verir mi?
Tam olarak değil. Gerçek toplar birbirine çarpar ve bir seferde bir adımdan fazla sekebilir; bu da çanı biraz genişletir. Bu benzetimdeki sekmeler, ideal bir tahtada olduğu gibi birbirinden bağımsızdır.
İlgili araçlar
Galton tahtası
Topları çivi sıralarının arasından bırakın ve bölmelerin çan eğrisi biçiminde dolmasını izleyin. Sıra sayısını, eğilimi ve top sayısını değiştirin; ortalamayı ve yayılımı teoriyle karşılaştırın.
Buffon iğnesi
Tarayıcınızda çizgili bir zemine iğneler düşürün. Kesişmeleri sayın ve Buffon’un 1777 deneyinin π’yi nasıl tahmin ettiğini izleyin.
Buffon iğnesi
Buffon’un 1777 iğne problemi: paralel çizgilere düşen bir iğnenin π’yi neden tahmin ettiği, kısa iğne olasılığı 2l/(πd)’nin bir sinüs eğrisinin altındaki alandan nasıl çıktığı ve deneyin neden yavaş yakınsadığı.
Brakistokron yarışı
Topları A’dan B’ye düz bir rampada, bir dairede, bir parabolde ve bir sikloidde yarıştırın. Sikloid, bitişin altına inse bile her zaman kazanır. Kendi pistinizi çizin.
Brakistokron
Brakistokron nedir: sikloid düz çizgiyi neden yener, Bernoulli’nin 1696’daki meydan okuması nasıl çözüldü ve sikloid bir çanak neden aynı zamanda tautokrondur.
Collatz sanısı
Collatz 3n+1 problemini tarayıcınızda keşfedin. Dolu dizilerini izleyin, geometrik bir Collatz ağacı büyütün ve sürekli Collatz fraktalına yakınlaşın.
Bunu denemeye hazır mısın?
Pencere PictorX tarayıcınızda - yükleme yok, başlamak için gerekli kredi kartı yok.
Galton tahtasını dene